Question

【題目】如圖，已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，點O在AB的延長線上，OB=，∠AOE=60°，動點P從點O出發，以每秒2個單位長度的速度沿射線OE方向運動，以P為圓心，OP為半徑作⊙P，同時點Q從B點出發，以每秒1個單位長度的速度沿折線B-C-D向點D運動，Q與D重合時，P，Q同時停止運動，設P的運動時間t秒．

（1）∠BOC= ，PA的最小值是 ；

（2）當⊙P過點C時，求⊙P的劣弧與線段OA圍成的封閉圖形的面積；

（3）當⊙P與矩形ABCD的邊所在直線相切時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）30°；3+2 ；（2）；（3）上述t值均在0≤t≤6范圍之內，當⊙P與矩形ABCD的邊所在直線相切時，t的值是或或4-2

【解析】

（1）在直角△OBC中，先根據銳角的正切求∠BOC的度數；根據垂線段最短可知：當AP⊥OP時，PA的值最小，根據三角函數求AP的最小值；

（2）如圖2，作輔助線，構建矩形PCBN，確定⊙P的劣弧與線段OA圍成的封閉圖形是小弓形OM，根據扇形面積減去三角形面積可得結論；

（3）分三種情況：

①當⊙P與矩形ABCD的邊BC相切時，是（2）問中的情況，此時t；

②當⊙P與矩形ABCD的邊AD相切時，如圖3，根據AN+NO=AO列式可得t的值；

③當⊙P與矩形ABCD的邊CD相切時，如圖4，根據PM+PH=BC列式可得t的值．

（1）如圖1．

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠OBC=90°，tan∠BOC，∴∠BOC=30°．

當AP⊥OP時，PA的值最小．

∵OA=AB+OB=4+2．在Rt△AOP中，∵∠AOE=60°，∴sin60，∴AP3+2，∴PA的最小值是3+2．

故答案為：30°，3+2；

（2）如圖2，由題意得：OP=半徑r=2t，連接PC、PM，則PC=PM=PO=r=2t，∴∠POC=∠PCO=∠BOP﹣∠BOC=60°﹣30°=30°．

∵∠BCO=90°﹣∠BOC=90°﹣30°=60°，∴∠PCB=∠BCO+∠PCO=60°+30°=90°，即半徑PC⊥BC（此時直線BC與⊙P相切）．

作PN⊥OM于N，∴∠PNB=∠NBC=∠BCP=90°，∴四邊形PCBN是矩形，∴BN=PC=2t．

∵∠NOP=60°，∴在Rt△PNO中，∠OPN=30°，∴ONOP=t．

∵BN+ON=BO，∴2t+t=2，∴t，r，∴當t時，⊙P經過點C，S小弓形OM=S扇形POM﹣S△POM．

∵∠POM=60°且PO=PM，∴△POM是等邊三角形，∴OM=2ON=2t，PNt=2，∴S小弓形OM2π．

答：⊙P的劣弧與線段OA圍成的封閉圖形的面積為π；

（3）①當⊙P與矩形ABCD的邊BC相切時，是（2）問中⊙P過點C，此時t；

②當⊙P與矩形ABCD的邊AD相切時，如圖3，過P作PF⊥AD于F，過P作PN⊥AO于N，AN=FP=r=2t，ONOP=t．

∵AN+NO=AO，∴2t+t=24，t；

③當⊙P與矩形ABCD的邊CD相切時，如圖4，過PM⊥DC于M，交OA于H，則PM=OP=2t，PHt．

∵PM+PH=BC，∴2tt=2，t=4﹣2．

綜上所述：當⊙P與矩形ABCD的邊所在直線相切時t的值是或或4﹣2．