Question

【題目】在平面直角坐標系中，點O為原點，點A的坐標為（﹣6，0）．如圖1，正方形OBCD的頂點B在x軸的負半軸上，點C在第二象限．現將正方形OBCD繞點O順時針旋轉角α得到正方形OEFG．

（1）如圖2，若α=60°，OE=OA，求直線EF的函數表達式．

（2）若α為銳角，tanα= ，當AE取得最小值時，求正方形OEFG的面積．
（3）當正方形OEFG的頂點F落在y軸上時，直線AE與直線FG相交于點P，△OEP的其中兩邊之比能否為 ：1？若能，求點P的坐標；若不能，試說明理由

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，

過點E作EH⊥OA于點H，EF與y軸的交點為M．

∵OE=OA，α=60°，

∴△AEO為正三角形，

∴OH=3，EH= =3 ．

∴E（﹣3，3 ）．

∵∠AOM=90°，

∴∠EOM=30°．

在Rt△EOM中，

∵cos∠EOM= ，

即 = ，

∴OM=4 ．

∴M（0，4 ）．

設直線EF的函數表達式為y=kx+4 ，

∵該直線過點E（﹣3，3 ），

∴﹣3k+4 =3 ，

解得k= ，

所以，直線EF的函數表達式為y= x+4

（2）解：如圖2，

射線OQ與OA的夾角為α（ α為銳角，tanα= ）．

無論正方形邊長為多少，繞點O旋轉角α后得到正方

形OEFG的頂點E在射線OQ上，

∴當AE⊥OQ時，線段AE的長最小．

在Rt△AOE中，設AE=a，則OE=2a，

∴a2+（2a）2=62，解得a1= ，a2=﹣ （舍去），

∴OE=2a= ，

∴S正方形OEFG=OE2=

（3）解：方法一：設正方形邊長為m．

當點F落在y軸正半軸時．

如圖3，

當P與F重合時，△PEO是等腰直角三角形，有 = 或 = ．

在Rt△AOP中，∠APO=45°，OP=OA=6，

∴點P1的坐標為（0，6）．

在圖3的基礎上，

當減小正方形邊長時，

點P在邊FG 上，△OEP的其中兩邊之比不可能為 ：1；

當增加正方形邊長時，存在 = （圖4）和 = （圖5）兩種情況．

如圖4，

△EFP是等腰直角三角形，

有 = ，

即 = ，

此時有AP∥OF．

在Rt△AOE中，∠AOE=45°，

∴OE= OA=6 ，

∴PE= OE=12，PA=PE+AE=18，

∴點P2的坐標為（﹣6，18）．

如圖5，

過P作PR⊥x軸于點R，延長PG交x軸于點H．設PF=n．

在Rt△POG中，PO2=PG2+OG2=m2+（m+n）2=2m2+2mn+n2，

在Rt△PEF中，PE2=PF2+EF2=m2+n2，

當 = 時，

∴PO2=2PE2．

∴2m2+2mn+n2=2（m2+n2），得n=2m．

∵EO∥PH，

∴△AOE∽△AHP，

∴ = ，

∴AH=4OA=24，

即OH=18，

∴m=9 ．

在等腰Rt△PRH中，PR=HR= PH=36，

∴OR=RH﹣OH=18，

∴點P3的坐標為（﹣18，36）．

當點F落在y軸負半軸時，

如圖6，

P與A重合時，在Rt△POG中，OP= OG，

又∵正方形OGFE中，OG=OE，

∴OP= OE．

∴點P4的坐標為（﹣6，0）．

在圖6的基礎上，當正方形邊長減小時，△OEP的其中

兩邊之比不可能為 ：1；當正方形邊長增加時，存在 = （圖7）這一種情況．

如圖7，過P作PR⊥x軸于點R，

設PG=n．

在Rt△OPG中，PO2=PG2+OG2=n2+m2，

在Rt△PEF中，PE2=PF2+FE2=（m+n ）2+m2=2m2+2mn+n2．

當 = 時，

∴PE2=2PO2．

∴2m2+2mn+n2=2n2+2m2，

∴n=2m，

由于NG=OG=m，則PN=NG=m，

∵OE∥PN，

∴△AOE∽△ANP，

∴ =1，

即AN=OA=6．

在等腰Rt△ONG中，ON= m，

∴12= m，

∴m=6 ，

在等腰Rt△PRN中，RN=PR=6，

∴點P5的坐標為（﹣18，6）．

所以，△OEP的其中兩邊的比能為 ：1，點P的坐標是：P1（0，6），P2（﹣6，18），

P3（﹣18，36），P4（﹣6，0），P5（﹣18，6）．

方法二：設點F（0，2a），

∴E（﹣a，a），G（a，a），

∵A（﹣6，0），

∴直線FG的解析式為y=﹣x+2a①，直線AE的解析式為y= （x+6）②，

聯立①②得，P（﹣（ ）， ）；

∵E（﹣a，a），O（0，0），

∴PE2= =2a2（ ）2，

OP2= =2a2（ ），

OE2=2a2，

∵△OEP的其中兩邊之比為 ：1，

∴△OEP的其中兩邊的平方之比為2：1，

①PE2=2OE2，

∴2a2（ ）2=2×2a2，

∴a=0（舍）或a=6，

把a=6代入點P的坐標中，得，P（﹣6，18）（如圖4），

②PE2=2OP2，

∴2a2（ ）2=2×2a2（ ），

∴a=0（舍）或a=﹣6，

把a=6代入點P的坐標中，得，P（﹣18，6）（如圖7），

③OE2=2PE2；

∴2a2=2×2a2（ ）2，此方程無解；

④OE2=2OP2．

∴2a2=2×2a2（ ），此方程無解；

⑤OP2=2OE2；

∴2a2（ ）=2×2a2，

∴a=3或a=﹣3，

將a的值代入點P坐標中，得，P（0，6）（如圖3）或（﹣6，0）（圖6）

，

⑥OP2=2PE2．

∴2a2（ ）=2×2a2（ ）2，

∴a=3（和第五種情況重復）或a=9，

把a=9代入點P的坐標中，得，P（﹣18，36）（如圖5）

所以，△OEP的其中兩邊的比能為 ：1，點P的坐標是：P（0，6），P（﹣6，18），

P（﹣18，36），P（﹣6，0），P（﹣18，6）．

【解析】（1）求出E、M的坐標代入解析式即可；（2）當AE⊥OQ時，線段AE的長最小，利用正切得出邊之間的關系式，由勾股定理建立方程即可；（3）可分類討論，由于正方形的邊長在變化，因此AE與FG的交點P位置會發生變化， 1.點F落在y軸正半軸；2.P與F重合時；3.點F落在y軸負半軸時；4.P與A重合時.
【考點精析】本題主要考查了確定一次函數的表達式和正方形的性質的相關知識點，需要掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．