Question

如圖，已知點E在直角△ABC的斜邊AB上，以AE為直徑的⊙O與直角邊BC相切于點D．
（1）若∠1=30°，∠BAC=

60

度；
（2）若BE=2，BD=4，則⊙O的半徑是：

3

．

Answer 1

分析：（1）連接OD、DE，根據切線性質得出∠3+∠ADC=90°，求出∠ADC，求出∠2，即可求出答案；
（2）求出∠4=∠1，證△BED∽△BDA，即可求出BA，求出半徑即可．

解答：解：（1）連接OD，
∵CD是⊙O切線，
∴∠3+∠ADC=90°，
∵OA=OD，
∴∠1=∠3=30°，
∴∠ADC=60°，
∵∠C=90°，
∴∠2=90°-∠ADC=30°，
∴∠BAC=30°+30°=60°，
故答案為：60；

（2）連接DE，
∵AE為⊙O直徑，
∴∠6+∠3=90°，
∵BC為切線，
∴∠4+∠6=90°，
∴∠4=∠3，
∵∠1=∠3，
∴∠4=∠1，
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BDA，
∴

BD

BE

=

BA

BD

，
∴

4

2

=

BA

4

，
∴BA=8，
∴AE=8-2=6，
即⊙O的半徑是3，
故答案為：3．

點評：本題考查了切線的性質，相似三角形的性質和判定，等腰三角形的性質的應用，主要考查學生的推理能力．