Question

【題目】邊長為a的等邊三角形，記為第1個等邊三角形，取其各邊的三等分點，順次連接得到一個正六邊形，記為第1個正六邊形，取這個正六邊形不相鄰的三邊中點，順次連接又得到一個等邊三角形，記為第2個等邊三角形，取其各邊的三等分點，順次連接又得到一個正六邊形，記為第2個正六邊形（如圖），…，按此方式依次操作，則第6個正六邊形的邊長為（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：連接AD、DF、DB． ∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠ABC=∠BAF=∠AFE，AB=AF，∠E=∠C=120°，EF=DE=BC=CD，
∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°，
∵∠AFE=∠ABC=120°，
∴∠AFD=∠ABD=90°，
在Rt△ABD和RtAFD中

∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL），
∴∠BAD=∠FAD= ×120°=60°，
∴∠FAD+∠AFE=60°+120°=180°，
∴AD∥EF，
∵G、I分別為AF、DE中點，
∴GI∥EF∥AD，
∴∠FGI=∠FAD=60°，

∵六邊形ABCDEF是正六邊形，△QKM是等邊三角形，
∴∠EDM=60°=∠M，
∴ED=EM，
同理AF=QF，
即AF=QF=EF=EM，
∵等邊三角形QKM的邊長是a，
∴第一個正六邊形ABCDEF的邊長是 a，即等邊三角形QKM的邊長的 ，
過F作FZ⊥GI于Z，過E作EN⊥GI于N，
則FZ∥EN，
∵EF∥GI，
∴四邊形FZNE是平行四邊形，
∴EF=ZN= a，
∵GF= AF= × a= a，∠FGI=60°（已證），
∴∠GFZ=30°，
∴GZ= GF= a，
同理IN= a，
∴GI= a+ a+ a= a，即第二個等邊三角形的邊長是 a，與上面求出的第一個正六邊形的邊長的方法類似，可求出第二個正六邊形的邊長是 × a；
同理第第三個等邊三角形的邊長是 × a，與上面求出的第一個正六邊形的邊長的方法類似，可求出第三個正六邊形的邊長是 × × a；
同理第四個等邊三角形的邊長是 × × a，第四個正六邊形的邊長是 × × × a；
第五個等邊三角形的邊長是 × × × a，第五個正六邊形的邊長是 × × × × a；
第六個等邊三角形的邊長是 × × × × a，第六個正六邊形的邊長是 × × × × × a，
即第六個正六邊形的邊長是 × a，
故選：A．

連接AD、DB、DF，求出∠AFD=∠ABD=90°，根據HL證兩三角形全等得出∠FAD=60°，求出AD∥EF∥GI，過F作FZ⊥GI，過E作EN⊥GI于N，得出平行四邊形FZNE得出EF=ZN= a，求出GI的長，求出第一個正六邊形的邊長是 a，是等邊三角形QKM的邊長的 ；同理第二個正六邊形的邊長是等邊三角形GHI的邊長的 ；求出第五個等邊三角形的邊長，乘以 即可得出第六個正六邊形的邊長．