Question

【題目】已知等邊△ABC，M是邊BC延長線上一點，連接AM交△ABC的外接圓于點D，延長BD至N，使得BN=AM，連接CN，MN，解答下列問題：
（1）猜想△CMN的形狀，并證明你的結論；
（2）請你證明CN是⊙O的切線；
（3）若等邊△ABC的邊長是2，求ADAM的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：△CMN是等邊三角形，

理由：在△BCN與△ACM中， ，

∴△BCN≌△ACM，

∴CN=CM，∠BCN=∠ACM，

∴∠BCN﹣∠ACN=∠ACM﹣∠ACN，

即∠MCN=∠ACB=60°，

∴△CMN是等邊三角形

（2）解：連接OA．OB．OC，

在△BOC與△AOC中， ，

∴△BOC≌△AOC，

∴∠ACO=∠BCO= ACB=30°，

∵∠ACB=∠MCN=60°，

∴∠ACN=60°，

∴∠OCN=90°，

∴OC⊥CN，

∴CN是⊙O的切線

（3）解：∵∠ADB=∠ACB=60°，

∴∠ADB=∠ABC，

∵∠BAD=∠MAB，

∴△ABD∽△AMB，

∴ ，

∴ADAM=AB2=22=4．

【解析】（1）根據全等三角形的判定定理得到△BCN≌△ACM，由全等三角形的性質得到CN=CM，∠BCN=∠ACM，求得∠MCN=∠ACB=60°，即可得到結論；（2）根據全等三角形的性質得到∠ACO=∠BCO= ACB=30°，根據角的和差得到∠OCN=90°，根據切線的判定定理得到結論；（3）根據相似三角形的判定和性質即可得到結論．
【考點精析】掌握等邊三角形的性質和三角形的外接圓與外心是解答本題的根本，需要知道等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心．