Question

【題目】如圖1，在中，，是兩條外角平分線.

（1）求證：.

（2）如圖2，是由的外角平分線圍成的三角形.求證：一定是銳角三角形.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）如圖1，根據角平分線的定義得到∠3=∠CBE，∠4=∠FCB．由三角形外角和為360°得到∠CBE+∠FCB=180°+∠A，從而得到∠3+∠4=90°+∠A．在△BDC中，由三角形內角和定理即可得到結論；

（2）如圖2，根據角平分線定義得∠1=∠2，∠3=∠4，再利用三角形外角性質得∠1+∠2=∠BAC+∠ACB=∠BAC+180°﹣∠3﹣∠4，則∠1+∠3=90°+∠BAC，然后根據三角形內角和定理得到∠D=180°﹣（∠1+∠3）=90°﹣∠BAC，于是可判斷∠D為銳角，同理可得∠F=90°﹣∠ACB，∠E=90°﹣∠ABC，也可判斷∠E、∠F都是銳角，所以△DEF為銳角三角形．

（1）如圖1．

∵BD平分∠CBE，∴∠3=∠CBE．

∵CD平分∠FCB，∴∠4=∠FCB．

∵∠CBE+∠FCB+180°－∠A=360°，∴∠CBE+∠FCB=180°+∠A，∴∠3+∠4=（∠CBE+∠FCB）=（180°+∠A）=90°+∠A，∴∠D=180°－（∠3+∠4）=180°-（90°+∠A）=90°∠A；

（2）如圖2．

∵BD和CD為△ABC的外角平分線，∴∠1=∠2，∠3=∠4．

∵∠1+∠2=∠BAC+∠ACB=∠BAC+180°﹣∠3﹣∠4，∴2∠1=∠BAC+180°﹣2∠3，∴∠1+∠3=90°+∠BAC，∴∠D=180°﹣（∠1+∠3）=90°﹣∠BAC，∴∠D為銳角，同理可得∠F=90°﹣∠ACB，∠E=90°﹣∠ABC，∴∠E、∠F都是銳角，∴△DEF為銳角三角形．