Question

【題目】如圖．拋物線經過三點．

（1）求拋物線的函數關系式;

（2）若直線是拋物線的對稱軸，設點是直線上的一個動點，當的周長最小時，求點的坐標;

（3）在線段上是否存在點，使得以線段為直徑的圓與邊交于點(與點不同)，且以點為頂點的三角形是等腰三角形?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點的坐標為；（3）的值為或．

【解析】

（1）直接將A、B、C三點坐標代入拋物線的解析式中求出待定系數即可．
（2）由圖知：A、B點關于拋物線的對稱軸對稱，那么根據拋物線的對稱性以及兩點之間線段最短可知：若連接BC，那么BC與直線l的交點即為符合條件的P點．
（3）由于△QBO的腰和底沒有明確，因此要分三種情況來討論：①QB=BO、②QB=QO、③QO=BO；可先設出M點的坐標，然后用M點縱坐標表示△QBO的三邊長，再按上面的三種情況列式求解即可．

解：經過

解之得：

函數解析式為

如圖，拋物線的對稱軸是直線

當點落在線段上時，

最小，的周長最小．

設拋物線的對稱軸與軸的交點為

又，得

由

得

所以點的坐標為

過點作交于點

則根據直徑所對圓周角是直角的性質，知點在以為直徑的圓上

由

可證是直角三角形

得

由可得

則

由，得

分三種情況：

①當時，

點在垂直平分線上，是的中點，

得．

解得

②當時，

解得：

③當時，

由于，

從而點在的延長線上，

這樣點不在線段上

綜上所述，的值為或．