Question

【題目】直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，菱形ABCD如圖放置在平面直角坐標系中，其中點D在x軸負半軸上，直線y=x+m經過點C，交x軸于點E．

①請直接寫出點C、點D的坐標，并求出m的值；

②點P（0，t）是線段OB上的一個動點（點P不與O、B重合），經過點P且平行于x軸的直線交AB于M、交CE于N．設線段MN的長度為d，求d與t之間的函數關系式（不要求寫自變量的取值范圍）；

③點P（0，t）是y軸正半軸上的一個動點，為何值時點P、C、D恰好能組成一個等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）m=9；（2）；（3）t=4，或t=，t=時，△PCD均為等腰三角形.

【解析】

試題（1）由直線的解析式可求出A和B點的坐標，再根據菱形的性質即可求出點C、點D的坐標，把點C的坐標代入直線y=x+m即可求出m的值；

（2）設點M的坐標為（xM，t），點N的坐標為（xN，t），首先求出xM=﹣t+3，再求出xN=t﹣9，進而得到d=xM﹣xN=﹣t+3﹣（t﹣9）=﹣t+12；

（3）由A和B的坐標可求出AB的長，再分三種情況分別討論求出符合題意的t值即可．

試題解析：（1）∵直線y=﹣x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，

∴點A的坐標為（3，0）點B的坐標為（0，4），

∵四邊形ABCD是菱形，

∴點C的坐標為（﹣5，4），點D的坐標為（﹣2，0），

∵直線y=x+m經過點C，

∴m=9，

（2）∵MN 經過點P（0，t）且平行于x軸，

∴可設點M的坐標為（xM，t），點N的坐標為（xN，t），

∵點M在直線AB上，

直線AB的解析式為y=﹣x+4，

∴t=，得xM=﹣t+3，

同理點N在直線CE上，直線CE的解析式為y=x+9，

∴t=xN+9，得xN=t﹣9，

∵MN∥x軸且線段MN的長度為d，

∴d=xM﹣xN=﹣t+3﹣（t﹣9）=﹣t+12；

（3）∵直線AB的解析式為y=﹣x+4，

∴點A 的坐標為（3，0），點B的坐標為（0，4），AB=5，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=5，

∴點P運動到點B時，△PCD即為△BCD是一個等腰三角形，此時=4；

∵點P（0，t）是y軸正半軸上的一個動點，

∴OP=t，PB=|t﹣4|，

∵點D的坐標為（﹣2，0），

∴OD=2，由勾股定理得PD2=OD2+OP2=4+t2，

同理，CP2=BC2+BP2=25+（t﹣4）2，

當PD=CD=5時，PD2=4+t2=25，

∴t=（舍負），

當PD=CP時，PD2=CP2，4+t2=25+（t﹣4）2，

∴t=，

綜上所述，t=4，或t=，t=時，△PCD均為等腰三角形．