Question

已知⊙O的直徑AB=10，弦BC=6，點D在⊙O上（與點C在AB兩側(cè)），過D作⊙O的切線PD．
（1）如圖①，PD與AB的延長線交于點P，連接PC，若PC與⊙O相切，求弦AD的長；
（2）如圖②，若PD∥AB，①求證：CD平分∠ACB；②求弦AD的長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）先求得∠ACB=90°，根據(jù)勾股定理求得AC，根據(jù)切線的性質(zhì)求得PD=PC，∠APC=∠APD，然后根據(jù)SAS求得△APC≌△APD，即可求得AD=AC=8；
（2）連接OD、BD，根據(jù)切線的性質(zhì)得出OD⊥PD，進而求得OD⊥AB，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求得AD=BD，從而求得CD平分∠ACB．根據(jù)勾股定理即可求得弦AD的長．

解答：（1）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴AC=

AB2-BC2

=

102-62

=8，
∵PD、PC是⊙O的切線，
∴PD=PC，∠APC=∠APD，
在△APC和△APD中，

PD=PC ∠APC=∠APD PA=PA

，
∴△APC≌△APD（SAS），
∴AD=AC=8．
（2）證明：①連接OD、BD，
∵PD是⊙O的切線，
∴OD⊥PD，
∵PD∥AB，
∴OD⊥AB，
∴

AD

=

BD

，
∴AD=BD，∠ACD=∠BCD，
∴CD平分∠ACB．

②∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
在RT△ADB中，AD²+BD²=AB²，
∴2AD²=10²，
∴AD=5

2

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，也考查了切線長定理和等腰三角形的性質(zhì)．