Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，且AO＝4，點C在半圓上，OC⊥AB，垂足為點O，P為半圓上任意一點過P點作PE⊥OC于點E，設△OPE的內心為M，連接OM

（1）求∠OMP的度數；

（2）隨著點P在半圓上位置的改變，∠CMO的大小是否改變，說明理由；

（3）當點P在半圓上從點B運動到點A時，直接寫出內心M所經過的路徑長．

Answer 1

【答案】（1）135°；（2）∠CMO的大小不改變，理由見解析；（3）.

【解析】

（1）由內心的定義可知∠MOP＝∠MOC＝∠EOP，∠MPO＝∠MPE＝∠EPO，求出∠MOP與∠MPO的和為45°，利用三角形的內角和定理即可求出∠OMP的度數；

（2）連接CM，證△COM≌△POM，即得出∠CMO＝∠OMP＝135°，可知∠CMO的大小不改變，為135°；

（3）連接AC，BC，證明△ACB，△ACO與△BCO為分別為等腰直角三角形，求出CQ＝2，∠CQO＝90°，∠CNO＝90°，由題意分析得出當點P在半徑OC的左側和右側的半圓上時，點M的軌跡分別在以AC，BC為直徑的圓弧上，根據弧長公式即可求出M所經過的路徑長．

解：（1）∵OC⊥AB，

∴∠OEP＝90°，

∴∠EOP+∠EPO＝90°，

∵M為△OPE的內心，

∴∠MOP＝∠MOC＝EOP，∠MPO＝∠MPE＝∠EPO，

∴∠MOP+∠MPO＝（∠EOP+∠EPO）＝45°，

∴∠OMP＝180°﹣（∠MOP+∠MPO）＝135°；

（2）∠CMO的大小不改變，理由如下：

如圖2，連接CM，

在△COM和△POM中，

，

∴△COM≌△POM（SAS），

∴∠CMO＝∠OMP＝135°，

∴∠CMO的大小不改變，為135°；

（3）如圖3，連接AC，BC，

∵AB為直徑，CO⊥AB，

∴AC＝BC，

∴△ACB為等腰直角三角形，

∴△ACO與△BCO為等腰直角三角形，

∴AC＝，

∴CQ＝

分別取AC，BC的中點Q，N，連接OQ，ON，

則∠CQO＝90°，∠CNO＝90°，

當點P在半徑OC的左側和右側的半圓上時，點M的軌跡分別在以AC，BC為直徑的圓弧上，所對圓心角為90°，

∴，

∴內心M所經過的路徑長為2