Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標系中，點 A 的坐標為（6，0），AB=6，點 P 從點 O出發沿線段 OA 向終點 A 運動，點 P 的運動速度是每秒 2 個單位長度，點 D 是線段 OA 的中點．

（1）求點 B 的坐標；

（2）設點 P 的運動時間為點 t 秒，△BDP 的面積為 S，求 S 與 t 的函數關系式；

（3）當點 P 與點 D 重合時，連接 BP，點 E 在線段 AB 上，連接 PE，當∠BPE=2∠OBP 時， 求點 E 的坐標．

Answer 1

【答案】（1）B(0，6)；（2）S=；（3）E(4，2)

【解析】

（1）在Rt△AOB中，利用勾股定理可求得OB的長，從而得到點B的坐標；

（2）存在2種情況，一種是點P在點D的左側，一種是在右側，求△PBD的面積，高始終是OB不變，僅需表示出PD的長即可；

（3）如下圖，作∠BPE的角平分線PF，根據角之間的關系，可得到PF∥OB，從而推導出△PEG∽△PBO，最后利用相似比的關系求得線段的長度，從而得到E的坐標.

（1）∵A(6，0)，AB=6，△AOB是直角三角形

∴在Rt△AOB中，OB=

∴B(0，6)

（2）情況一：如下圖，點P在點D的左側，即時

在△BPD中，以PD為底，則BO是△BOD的高

∴高=BO=6，底=3－2t

∴S=

情況二：如下圖，點P在點D的右側，即時

在△BPD中，以PD為底，則BO是△BOD的高

∴高=BO=6，底=2t－3

∴S=

綜上得：S=

（3）如下圖，PF是∠PBE的角平分線，交AB于點F，過點E作x軸的垂線，交x軸于點G

∵OA=6，OB=6，AB=6

∴△OBA是等腰直角三角形，∠A=45°

∴△GEA是等腰直角三角形

設PG=x，則AG=3－x

∴EG=AG=3－x

∵PF是∠BPE的角平分線，∴∠BPF=∠FPE

∵∠BPE=2∠OBP

∴∠OBP=∠BPF=∠FPE

∴PF∥OB，∴PF⊥OA

∴∠FPE+∠EPG=90°

∵∠OBP+∠BPO=90°，∴∠EPG=∠BPO

∵∠EGP=∠BOP

∴△PEG∽△PBO

∴，即，解得：x=1

∴PG=1，GE=2

∴E(4，2)