Question

【題目】如圖，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC與BD交于點O，E為CD延長線上的一點，且CD＝DE，連接BE，分別交AC、AD于點F、G，連接OG，則下列結論：①OG＝AB；②圖中與△EGD全等的三角形共有5個；③以點A、B、D、E為項點的四邊形是菱形；④S四邊形ODGF＝S△ABF．其中正確的結論是（ ）

A. ①③B. ①③④C. ①②③D. ②②④

Answer 1

【答案】A

【解析】

由AAS證明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，證出OG是△ACD的中位線，得出OG= CD=AB，①正確；先證明四邊形ABDE是平行四邊形，證出△ABD、△BCD是等邊三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四邊形ABDE是菱形，③正確；由菱形的性質得得出△ABG≌△BDG≌△DEG，由SAS證明△ABG≌△DCO，得出△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，得出②不正確；證出OG是△ABD的中位線，得出OG//AB，OG=AB，得出△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，由相似三角形的性質和面積關系得出S四邊形ODGF=S△ABF；④不正確；即可得出結果.

解：四邊形ABCD是菱形，

在△ABG和△DEG中，

∴△ABG≌△DEG（AAS），

∴.AG=DG，

∴OG是△ACD的中位線，

∴OG=CD=AB，①正確；

∵AB//CE，AB=DE，

∴四邊形ABDE是平行四邊形，

∴∠BCD=∠BAD=60°，

∴△ABD、△BCD是等邊三角形，

∴AB=BD=AD，∠ODC=60°，

∴OD=AG，四邊形ABDE是菱形，③正確；

∴AD⊥BE，

由菱形的性質得：△ABG≌△BDG≌△DEG，

在△ABG和△DCO中，

∴△ABG≌△DCO

∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，則②不正確。

∵OB=OD，AG=DG，

∴OG是△ABD的中位線，

∴OG∥AB，OG=AB，

∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，

∴△GOD的面積=△ABD的面積，△ABF的面積=△OGF的面積的4倍，AF:OF=2：1，

∴△AFG的面積=△OGF的面積的2倍，

又∵△GOD的面積=△AOG的面積=△BOG的面積，

∴ S四邊形ODGF=S△ABF；④不正確；

故答案為：A.