Question

如圖，以Rt△BCF的斜邊BC為直徑作⊙O，A為上一點，且=，AD⊥BC，垂足為D，過A作AE∥BF交CB的延長線于E．
求證：
（1）AE是⊙O切線；
（2）；
（3）若⊙O直徑為d，則．

Answer 1

證明：（1）連接AB，OA，
∵弧AB=弧AF，OA是⊙O的半徑，
∴OA⊥BF．
∵AE∥EF，
∴AE⊥OA．
∵OA是⊙O的半徑，
∴AE是⊙O切線．

（2）∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°．
∵AD⊥BC，
∴△ABD∽△ABC，△ACD∽△ABC．
∴AB²=BD•BC，AC²=CD•BC，
∴①
∵AE是⊙O切線；
∴∠EAB=∠ECA．
∵∠E=∠E，
∴△ABE∽△AEC．
∴，
∴②
∵AE是⊙O切線．
∴AE²=BE•EC③
由①②③得，；

（3）∵⊙O直徑為d
∴，
∴，
∴．
分析：（1）要證AE是⊙O切線，只要證明AE⊥OA即可；
（2）根據(jù)已知利用相似三角形的判定，再根據(jù)相似比之間的轉(zhuǎn)化從而得到結(jié)論；
（3）根據(jù)相似三角形的邊對應成比例即可證得結(jié)論．
點評：此題考查了圓的切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及比例式的變形等知識．