Question

如圖i，半圓O為△ABC的外接半圓，AC為直徑，D為劣弧

BC

上的一動點，P在CB的延長線上，且有∠BAP=∠BDA．
（1）求證：AP是半圓O的切線；
（2）當其它條件不變時，問添加一個什么條件后，有BD²=BE•BC成立？說明理由；
（3）如圖ii，在滿足（2）問的前提下，若OD⊥BC與H，BE=2，EC=4，連接PD，請探究四邊形ABDO是什么特殊的四邊形，并求tan∠DPC的值．

Answer 1

分析：（1）證∠PAC=90°即可；
（2）使BD²=BE•BC成立，即要證△BDE∽△BDC，應有∠D=∠BCD，則應該添加弧BD=弧AB；
（3）證得AB與OD平行且相等，就有四邊形ABDO是平行四邊形，又AO=OD，有四邊形ABDO是菱形，利用銳角三角函數的概念和直角三角形的性質求得PB和PH值即可．

解答：（1）證明：∵∠D與∠C對同一弧，
∴∠D=∠C．
∵AC為直徑，
∴∠ABC=90°．
∴∠C+∠BAC=90°．
∵∠BAP=∠BDA，
∴∠PAB+∠BAC=90°．
即∠PAC=90°．
故AP是圓的切線．

（2）解：添加弧BD=弧AB．
∵弧AB=弧BD，
∴∠D=∠BCD．
∵∠DBE=∠DBC，
∴△BDE∽△BDC．
∴BD：BC=BE：BD．
即BD²=BE•BC．

（3）解：∵AC是半圓的直徑，OD⊥BC，
∴∠ABC=∠OHC=90°，OD∥AB．
∵OD⊥BC，
∴點D是弧BC的中點．
∴AD是∠BAC的平分線．
∴AB：BE=AC：CE．
∴AB：AB=BE：CE=2：4=1：2．
∴AC=2AB．
∵AC=2AO=2OD，
∴AB=OD．
即AB與OD平行且相等，
∴四邊形ABDO是平行四邊形．
∵AO=OD，
∴四邊形ABDO是菱形．
∵sinC=AB：AC=1：2，
∴∠C=30°，OD=AB，AB=2

3

，AC=4

3

，AP=ACtan30°=4．
∵點O，H分別是AC，BC的中點，
∴OH=

1

2

AB=

3

，DH=OD-OH=

3

．
∵PA是切線，PBC是割線，
∴PA²=PB•PC=PB（PB+BC）．
∴PB=2．
∴PH=PB+BH=5．
∴tan∠DPC=DH：PH=

3

5

．

點評：本題考查圓周角定理，相似三角形的判定和性質，垂徑定理，角的平分線定理，平行四邊形和菱形的判定等知識點的綜合運用．