Question

如圖1，半圓O為△ABC的外接半圓，AC為直徑，D為上的一動點．
（1）問添加一個什么條件后，能使得？請說明理由；
（2）若AB∥OD，點D所在的位置應滿足什么條件？請說明理由；
（3）如圖2，在（1）和（2）的條件下，四邊形AODB是什么特殊的四邊形？證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）要使成立，則應有△BDE∽△BCD，因此必須滿足∠BDE=∠DCB，則弧BD=弧AB，故需添加BD=AB；
（2）若AB∥OD，則應有∠ADO=∠BAD；由等邊對等角知，∠ADO=∠OAD，則應有=；
（3）在（1）和（2）的條件下，點B、D是半圓的三等分點，可證得四邊形AODB是平行四邊形；由于OA=OD，因此平行四邊形AODB是菱形．
解答：解：（1）添加AB=BD．
理由：∵AB=BD，∴=，
∴∠BDE=∠BCD，
又∵∠DBE=∠DBC，
∴△BDE∽△BCD，
∴．

（2）若AB∥DO，點D所在的位置是的中點．
理由：∵AB∥DO，
∴∠ADO=∠BAD，
∵∠ADO=∠OAD，
∴∠OAD=∠BAD，
∴=．

（3）在（1）和（2）的條件下，==，
∴∠BDA=∠DAC．
∴BD∥OA．
又∵AB∥DO，∴四邊形AODB是平行四邊形．
∵OA=OD，∴平行四邊形AODB是菱形．
點評：本題考查了在圓周角定理、平行線的判定和性質、平行四邊形和菱形的判定等知識，綜合性較強．