Question

若a，b，c是直角三角形的三條邊長，斜邊c上的高的長是h，給出下列結(jié)論：
①以a²，b²，c²的長為邊的三條線段能組成一個三角形
②以

a

，

b

，

c

的長為邊的三條線段能組成一個三角形
③以a+b，c+h，h的長為邊的三條線段能組成直角三角形
④以

1

a

，

1

b

，

1

c

的長為邊的三條線段能組成直角三角形
其中所有正確結(jié)論的序號為

 

．

Answer 1

分析：由已知三邊，根據(jù)勾股定理得出a²+b²=c²，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系即任意一邊長＞其他二邊的差，＜其他二邊的合，再推出小題中各個線段是否能組成三角形．

解答：解：（1）直角三角形的三條邊滿足勾股定理a²+b²=c²，因而以a²，b²，c²的長為邊的三條線段不能滿足兩邊之和＞第三邊，故不能組成一個三角形，故錯誤；

（2）直角三角形的三邊有a+b＞c（a，b，c中c最大），而在

a

，

b

，

c

三個數(shù)中

c

最大，如果能組成一個三角形，則有

a

+

b

＞

c

成立，即(

a

+

b

)2＞(

c

)2，即a+b+2

ab

＞c，（由a+b＞c），則不等式成立，從而滿足兩邊之和＞第三邊，則以

a

，

b

，

c

的長為邊的三條線段能組成一個三角形，故正確；

（3）a+b，c+h，h這三個數(shù)中c+h一定最大，（a+b）²+h²=a²+b²+2ab+h²，（c+h）²=c²+h²+2ch
又∵2ab=2ch=4S_△ABC
∴（a+b）²+h²=（c+h）²，根據(jù)勾股定理的逆定理
即以a+b，c+h，h的長為邊的三條線段能組成直角三角形．故正確；

（4）若以

1

a

，

1

b

，

1

c

的長為邊的3條線段能組成直角三角形，
假設(shè)a=3，b=4，c=5，
∵（

1

4

）²+（

1

5

）²≠（

1

3

）²，
∴以這三個數(shù)的長為線段不能組成直角三角形，故錯誤．
故填②③．

點評：本題考查勾股定理，以及勾股定理的逆定理，同時，通過這一題目要學(xué)會，用反例的方法說明一個命題是錯誤的思考方法．