Question

【題目】如圖，四邊形是正方形，是等邊三角形，為對角線（不含點）上任意一點，將繞點逆時針旋轉得到，連接．

（1）證明：；

（2）當點在何處時，的值最小，并說明理由；

（3）當的最小值為時，則正方形的邊長為___________．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當點位于與的交點處時，的值最小，理由見解析；（3）．

【解析】

(1)由題意得MB=NB，∠ABN=15°，所以∠EBN=45°，容易證出△AMB≌△ENB；
(2)根據"兩點之間線段最短”，當M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長；
(3)過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F，由題意求出∠EBF=30°，設正方形的邊長為x，在Rt△EFC中，根據勾股定理求得正方形的邊長為.

解：（1）∵是等邊三角形，

∴，

∵，

∴，即．

又∵，

∴；

（2）如圖，連接，當點位于與的交點處時，的值最小．

理由如下：

連接，

由（1）知，，

∴．

∵，

∴是等邊三角形，

∴．

∴根據“兩點之間線段最短”，得最短．

當點位于與的交點處時，的值最小，即等于的長．

（3）正方形的邊長為邊．

過點作交的延長線于，

∴．

設正方形的邊長為，則，．

在中，

∵，

∴，

解得，（舍去負值）．

∴正方形的邊長為．