Question

【題目】如圖，P為反比例函數y= （k＞0）在第一象限內圖象上的一點，過點P分別作x軸，y軸的垂線交一次函數y=﹣x﹣4的圖象于點A，B．若∠AOB=135°，則k的值是（ ）

A.2
B.4
C.6
D.8

Answer 1

【答案】D
【解析】解：方法1、作BF⊥x軸，OE⊥AB，CQ⊥AP；設P點坐標（n， ），

∵直線AB函數式為y=﹣x﹣4，PB⊥y軸，PA⊥x軸，

∴C（0，﹣4），G（﹣4，0），

∴OC=OG，

∴∠OGC=∠OCG=45°

∵PB∥OG，PA∥OC，

∴∠PBA=∠OGC=45°，∠PAB=∠OCG=45°，

∴PA=PB，

∵P點坐標（n， ），

∴OD=CQ=n，

∴AD=AQ+DQ=n+4；

∵當x=0時，y=﹣x﹣4=﹣4，

∴OC=DQ=4，GE=OE= OC= ；

同理可證：BG= BF= PD= ，

∴BE=BG+EG= + ；

∵∠AOB=135°，

∴∠OBE+∠OAE=45°，

∵∠DAO+∠OAE=45°，

∴∠DAO=∠OBE，

∵在△BOE和△AOD中， ，

∴△BOE∽△AOD；

∴ = ，即 = ；

整理得：nk+2n2=8n+2n2，化簡得：k=8；

所以答案是：D．

方法2、如圖1，

過B作BF⊥x軸于F，過點A作AD⊥y軸于D，

∵直線AB函數式為y=﹣x﹣4，PB⊥y軸，PA⊥x軸，

∴C（0，﹣4），G（﹣4，0），

∴OC=OG，

∴∠OGC=∠OCG=45°

∵PB∥OG，PA∥OC，

∴∠PBA=∠OGC=45°，∠PAB=∠OCG=45°，

∴PA=PB，

∵P點坐標（n， ），

∴A（n，﹣n﹣4），B（﹣4﹣ ， ）

∴AD=AQ+DQ=n+4；

∵當x=0時，y=﹣x﹣4=﹣4，

∴OC=4，

當y=0時，x=﹣4．

∴OG=4，

∵∠AOB=135°，

∴∠BOG+∠AOC=45°，

∵直線AB的解析式為y=﹣x﹣4，

∴∠AGO=∠OCG=45°，

∴∠BGO=∠OCA，∠BOG+∠OBG=45°，

∴∠OBG=∠AOC，

∴△BOG∽△OAC，

∴ = ，

∴ = ，

在等腰Rt△BFG中，BG= BF= ，

在等腰Rt△ACD中，AC= AD= n，

∴ ，

∴k=8，

所以答案是：D．

【考點精析】通過靈活運用反比例函數的圖象和相似三角形的判定，掌握反比例函數的圖像屬于雙曲線．反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點；相似三角形的判定方法:兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）即可以解答此題．