Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點，點的坐標為．

（1）求點坐標；

（2）若對于每一個給定的的值，它所對應的函數值都不小于，求的取值范圍．

（3）直線經過點．

①求直線和拋物線的解析式；

②設拋物線與軸的交點為，過點作直線軸，將拋物線在軸左側的部分沿直線翻折，拋物線的其余部分保持不變，得到一個新圖像，請你結合新圖像回答：

當直線與新圖像只有一個公共點且時，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）點B的坐標為（4，0）；（2）0＜m≤；（3）①直線的解析式為y＝x－2；②b的取值范圍為－4＜b≤5或b＜－．

【解析】

（1）由拋物線的解析式可知它的對稱軸是x＝1，從而可得答案；

（2）由題意得到拋物線的開口方向，結合拋物線的頂點坐標可得答案；

（3）①利用已知條件建立關于的方程組，從而可得答案；

②求解過拋物線上縱坐標為的點時，的值，再判斷（b＜－4）與函數 y＝x2－x－4（x＞0）的圖像僅有一個公共點P時，的值，結合圖像可得答案．

解：（1）依題意，可得拋物線的對稱軸為：x＝1．

∵拋物線與x軸交于A、B兩點，點A的坐標為（－2，0），

∴點B的坐標為（4，0）．

（2）∵點A在二次函數y＝mx2－2mx+n的圖像上，

∴0＝4m+4m+n．即n＝－8m．

∴y＝mx2－2mx－8m＝，頂點坐標是（1，－9m）

∵若對于每一個給定的x的值，它所對應的函數值都不小于－5，

∴

即0＜m≤．

（3）①∵點B在直線y＝x+4m+n上，∴0＝2+4m+n．

又 n＝－8m，

∴m＝，n＝－4．

拋物線的解析式為y＝x2－x－4，

直線的解析式為y＝x－2．

②由y＝x2－x－4得：拋物線與y軸的交點為C（0，－4）．

直線l：y＝－4，依題意翻折后的圖像如圖所示．

令y＝8，則 x2－x－4＝8．解得x1＝－4，x2＝6．

∴新圖像經過點（6，8）．

當直線y＝x+b經過（6，8）點時，可得b＝5．

當直線y＝x+b經過C點時，可得b＝－4．

當直線y＝x+b（b＜－4）與函數 y＝x2－x－4（x＞0）的圖像僅有一個公共點P時，

也就是方程x2－x－4＝x+b有相等的實數根．

整理方程，得 x2－3x－（8+2b）＝0．

由根的判別式＝（－3）2+4（8+2b）＝8b+41＝0，得b＝－．

結合圖像可知，b的取值范圍為－4＜b≤5或b＜－．

【點晴】

本題考查的二次函數的基本性質，以及用待定系數法求函數的解析式，同時考查了函數只有一個交點時，字母的取值范圍，從圖像中獲取信息就是解題的關鍵．