Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系xOy中，A（0，4），B（8，0），C（8，4）．

（1）試說明四邊形AOBC是矩形．

（2）在x軸上取一點D，將△DCB繞點C順時針旋轉90°得到△D'CB'（點D'與點D對應）．

①若OD＝3，求點D'的坐標．

②連接AD'、OD'，則AD'+OD'是否存在最小值，若存在，請直接寫出最小值及此時點D'的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①D'的坐標為（4，9），②AD'+OD'的最小值是或4，點D'的坐標是（4，2）．

【解析】

（1）根據矩形的判定證明即可；

（2）①當點D在原點右側時，根據旋轉的性質和矩形的性質解答即可；②當點D在原點左側時，根據旋轉的性質和矩形的性質解答即可．

（1）∵A（0，4），B（8，0），C（8，4）．

∴OA＝4，BC＝4，OB＝8，AC＝8，

∴OA＝BC，AC＝OB，

∴四邊形AOBC是平行四邊形，

∵∠AOB＝90°，

∴AOBC是矩形；

（2）∵AOBC是矩形，

∴∠ACB＝90°，∠OBC＝90°，

∵△D'CB'將△DCB繞點C順時針旋轉90°得到（點D'與點D對應），

∴∠D'B'C＝∠DBC＝90°，B'C＝BC＝4，D'B'＝DB，∠BCB'＝90°，

即點B'在AC邊上，

∴D'B'⊥AC，

①如圖1，當點D在原點右側時：D'B'＝DB＝8﹣3＝5，

∴點D'的坐標為（4，9）；

②如圖2，當點D在原點左側時：D'B'＝DB＝8+3＝11，

∴點D'的坐標為（4，15），

綜上所述：點D'的坐標為（4，9）或（4，15）．

AD'+OD'的最小值是（或4），

點D'的坐標是（4，2）．