Question

如圖，直角梯形ABCD中，AB∥DC，，，．動(dòng)點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度，從點(diǎn)A沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)P以相同的速度，從點(diǎn)C沿折線C-D-A向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)M作直線l∥AD，與線段CD的交點(diǎn)為E，與折線A-C-B的交點(diǎn)為Q．點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．

（1）當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)0＜t＜2時(shí)，如果以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，求t的值；
（3）當(dāng)t＞2時(shí)，連接PQ交線段AC于點(diǎn)R．請(qǐng)?zhí)骄?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823024715099547.png" style="vertical-align:middle;" />是否為定值，若是，試求這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）  （2）或  （3）

試題分析：     
（1）依題意知，直角梯形ABCD中，CD∥AB。當(dāng)t＜2時(shí)可證明△ECQ∽△MAQ。
當(dāng)t=0.5時(shí)，AM=DE=0.5，則CE="2-0.5=1.5" 則因?yàn)镋C：AM=EQ：QM。所以1.5:0.5=EQ：QM。所以EQ=3QM。因?yàn)镋M=AD=4
所以QM=1
（2）依題意知△CPQ為直角三角形，且0＜t＜2時(shí)。故有兩種情況：
①當(dāng)∠CPQ=90°時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，
此時(shí)DE+CP=CD，即t+t=2，∴t=1，

②當(dāng)∠PQC=90°時(shí)，如備用圖1，此時(shí)Rt△PEQ∽R(shí)t△QMA，∴
由（1）知，EQ=EM-QM=4-2t，而PE=PC-CE=PC-（DC-DE）=t-（2-t）=2t-2，
∴
③當(dāng)2＜t≤6時(shí)，可得CD=DP=2時(shí)，∠DCP=45°，可以使得以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，此時(shí)t=4（舍去），綜上所述，t=1或t=
（3）
點(diǎn)評(píng)：本題難度較大。此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定以及直角三角形的判定等知識(shí)，題目綜合性較強(qiáng)，分類討論時(shí)要考慮全面，根據(jù)t的取值范圍進(jìn)行討論是解決問題的關(guān)鍵．