Question

【題目】在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，將△COD繞點O按逆時針方向旋轉得到△C1OD1 ， 旋轉角為θ（0°＜θ＜90°），連接AC1、BD1 ， AC1與BD1交于點P．

（1）如圖1，若四邊形ABCD是正方形．請直接寫出AC1 與BD1的數量關系和位置關系．
（2）如圖2，若四邊形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，判斷AC1與BD1的數量關系和位置關系，并給出證明；
（3）如圖3，若四邊形ABCD是平行四邊形，AC=6，BD=12，連接DD1 ， 設AC1=kBD1 ， 請直接寫出k的值和AC12+（kDD1）2的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：AC1=BD1，AC1⊥BD1；

理由：如圖1，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴OC=OA=OD=OB，AC⊥BD，

∴∠AOB=∠COD=90°，

∵△COD繞點O按逆時針方向旋轉得到△C1OD1，

∴OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1，

∴OC1=OD1，∠AOC1=∠BOD1=90°+∠AOD1，

在△AOC1和△BOD1中 ，

∴△AOC1≌△BOD1（SAS）；

∴AC1=BD1，

∵∠AOB=90°，∴∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°，

∴∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°，∴∠APB=90°，則AC1⊥BD1；

故AC1 與BD1的數量關系是：AC1=BD1；AC1 與BD1的位置關系是：AC1⊥BD1

（2）解：AC1= BD1，AC1⊥BD1．

理由：∵四邊形ABCD是菱形，

∴OC=OA= AC，OD=OB= BD，AC⊥BD．

∵△C1OD1由△COD繞點O旋轉得到，

∴O C1=OC，O D1=OD，∠CO C1=∠DO D1．

∴O C1=OA，O D1=OB，∠AO C1=∠BO D1，

∴ = ．

∴ = ．

∴△AO C1∽△BOD1．

∴∠O AC1=∠OB D1．

又∵∠AOB=90°，

∴∠O AB+∠ABP+∠OB D1=90°．

∴∠O AB+∠ABP+∠O AC1=90°．

∴∠APB=90°．

∴AC1⊥BD1．

∵△AO C1∽△BOD1，

∴ = = = = = ．

即AC1= BD1，AC1⊥BD1

（3）解：如圖3，與（2）一樣可證明△AOC1∽△BOD1，

∴ = = = ，

∴k= ；

∵△COD繞點O按逆時針方向旋轉得到△C1OD1，

∴OD1=OD，

而OD=OB，

∴OD1=OB=OD，

∴△BDD1為直角三角形，

在Rt△BDD1中，

BD12+DD12=BD2=144，

∴（2AC1）2+DD12=144，

∴AC12+（kDD1）2=36．

【解析】（1）由旋轉的性質和正方形的性質得出對應邊相等，各點旋轉角相等可推出全等，再根據全等的性質可得出結論；（2）類比（1）的思路方法，可得相似，由對應邊成比例，對應角相等可得結論；（3）類比（2），一樣可證明△AOC1∽△BOD1，再由旋轉的性質可推出△BDD1為直角三角形，再等量代換可得結論.
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質和旋轉的性質的相關知識點，需要掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了才能正確解答此題．