Question

【題目】已知：如圖，ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為3cm/s；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，連接并延長(zhǎng)QP交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過M作MN⊥BC，垂足是N，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜1）．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形AQDM是平行四邊形？

（2）證明：在P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，總有CQ=AM；

（3）是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形ANPM的面積是平行四邊形ABCD的面積的一半？若存在，求出相應(yīng)的t值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 是 (2)見解析 (3) 當(dāng)t= s時(shí)，四邊形ANPM的面積是平行四邊形ABCD的面積的一半

【解析】試題分析: （1）連結(jié)AQ、MD，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分得出AP=DP，代入求出即可；

（2）根據(jù)已知得出△AMP∽△DQP，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出=，求出AM的值，從而得出在P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，總有CQ=AM；

（3）根據(jù)已知條件得出BN=MN，再根據(jù)BM=AB+AM，由勾股定理得出BN=MN=（1+t），根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得出MN⊥AD，設(shè)四邊形ANPM的面積為y，得出y=×AP×MN，假設(shè)存在某一時(shí)刻t，四邊形ANPM的面積是平行四邊形ABCD的面積的一半，得出t2+t=×3×，最后進(jìn)行整理，即可求出t的值．

試題解析:

（1）連結(jié)AQ、MD，

∵當(dāng)AP=PD時(shí)，四邊形AQDM是平行四邊形，

∴3t=3﹣3t，

解得：t=，

∴t=s時(shí)，四邊形AQDM是平行四邊形．

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴△AMP∽△DQP，

∴=，

∴=，

∴AM=t，

即在P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，總有CQ=AM；

（3）∵M(jìn)N⊥BC，

∴∠MNB=90°，

∵∠B=45°，

∴∠BMN=45°=∠B，

∴BN=MN，

∵BM=AB+AM=1+t，

在Rt△BMN中，由勾股定理得：BN=MN=（1+t），

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∵M(jìn)N⊥BC，

∴MN⊥AD，

設(shè)四邊形ANPM的面積為y，

∴y=×AP×MN=×3t×（1+t）=t2+t（0＜t＜1）．

假設(shè)存在某一時(shí)刻t，四邊形ANPM的面積是平行四邊形ABCD的面積的一半，

∴t2+t=×3×，

整理得：t2+t﹣1=0，

解得：t1=，t2=（舍去），

∴當(dāng)t=s時(shí)，四邊形ANPM的面積是平行四邊形ABCD的面積的一半．