Question

【題目】如圖,已知□ABCD的面積為S，點P、Q時是ABCD對角線BD的三等分點，延長AQ、AP，分別交BC，CD于點E，F，連結EF。甲，乙兩位同學對條件進行分析后，甲得到結論①：“E是BC中點” .乙得到結論②：“四邊形QEFP的面積為S”。請判斷甲乙兩位同學的結論是否正確，并說明理由.

Answer 1

【答案】①結論一正確，理由見解析；②結論二正確，S四QEFP= S

【解析】

試題

（1）由已知條件易得△BEQ∽△DAQ，結合點Q是BD的三等分點可得BE：AD=BQ：DQ=1：2，再結合AD=BC即可得到BE：BC=1：2，從而可得點E是BC的中點，由此即可說明甲同學的結論①成立；

（2）同（1）易證點F是CD的中點，由此可得EF∥BD，EF=BD，從而可得△CEF∽△CBD，則可得得到S△CEF=S△CBD=S平行四邊形ABCD=S，結合S四邊形AECF=S可得S△AEF=S，由QP=BD，EF=BD可得QP：EF=2：3，結合△AQP∽△AEF可得S△AQP=S△AEF=，由此可得S四邊形QEFP= S△AEF- S△AQP=S，從而說明乙的結論②正確；

試題解析：

甲和乙的結論都成立，理由如下：

（1）∵在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，

∴△BEQ∽△DAQ，

又∵點P、Q是線段BD的三等分點，

∴BE：AD=BQ：DQ=1：2，

∵AD=BC，

∴BE：BC=1：2，

∴點E是BC的中點，即結論①正確；

（2）和（1）同理可得點F是CD的中點，

∴EF∥BD，EF=BD，

∴△CEF∽△CBD，

∴S△CEF=S△CBD=S平行四邊形ABCD=S，

∵S四邊形AECF=S△ACE+S△ACF=S平行四邊形ABCD=S，

∴S△AEF=S四邊形AECF-S△CEF=S，

∵EF∥BD，

∴△AQP∽△AEF，

又∵EF=BD，PQ=BD，

∴QP：EF=2：3，

∴S△AQP=S△AEF=，

∴S四邊形QEFP= S△AEF- S△AQP=S-=S，即結論②正確.

綜上所述，甲、乙兩位同學的結論都正確.