Question

【題目】如圖，在等邊三角形ABC的AC，BC邊上各取一點P，Q，使AP=CQ，AQ，BP相交于點O．若BO=6，PO=2，則AP的長，AO的長分別為__________．

Answer 1

【答案】4，．

【解析】

先通過條件證明△ABP≌△ACQ，得到∠ABP=∠CAQ，可證明△APO∽△BPA，得出，則AP2=OPBP，可求出AP，設OA=x，則AB=2x，在Rt△ABE中，由AE2+BE2=AB2，得出x的值即可得解．

解：解：∵△ABC是等邊三角形
∴∠BAP=∠ACQ=∠ABQ=60°，AB=AC=BC，
∵在△ABP和△ACQ中

，
∴△ABP≌△ACQ （SAS），
∴∠ABP=∠CAQ，
∵∠APO=∠BPA，
∴△APO∽△BPA，
∴，
∴AP2=OPBP，
∵BO=6，PO=2，

∴BP=8，
∴AP2=2×8=16，
∴AP=4，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAQ+∠CAQ=60°，
∴∠BAQ+∠ABP=60°，
∵∠BOQ=∠BAQ+ABP，
∴∠BOQ=60°，
過點B作BE⊥OQ于點E，

∴∠OBE=30°，
∵OB=6，
∴OE=3，BE=3，
∵，

設OA=x，則AB=2x，
在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，
∴(x+3)2+(3)2＝(2x)2，
解得：x=或x=1-（舍去），
∴AO=1+．
故答案為：4，．