Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中有三點A（2，4）、B（3，5）、P（a，a），將線段AB繞點P順時針旋轉90°得到CD，其中A、B的對應點分別為C、D;

（1）當a＝2時，

①在圖中畫出線段CD，保留作圖痕跡，并直接寫出C、D兩點的坐標；

②將線段CD向上平移m個單位，點C、D恰好同時落在反比例函數y＝的圖象上，求m和k的值．

（2）若a＝4，將函數y＝（x＞0）的圖象繞點P順時針旋轉90°得到新圖象，直線AB與新圖象的交點為E、F，則EF的長為　 　．（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】（1）①圖形見解析；C（4，2），D（5，1）；②m=3,k=20;（2）2

【解析】

（1）①畫出圖即可直觀求出點；②向上平移橫坐標不變，縱坐標加m，再結合反比函數解析式聯立方程求出m和k；

（2）判斷圖象旋轉后與直線相交的交點在直線上，而直線AB上點繞P點逆時針旋轉后的軌跡是與AB垂直的直線，并且過A點，逆向思維，原反比例函數圖象與軌跡直線的交點間距離就是EF距離．

（1）①根據題意作出圖象如下：

C（4，2），D（5，1），

②C點向上平移m個單位后點坐標為（4，2+m），

D點向上平移m個單位后點坐標為（5，1+m），

∵點C、D恰好同時落在反比例函數y＝的圖象上，

∴4（2+m）＝5（1+m），

解得m＝3，

∴平移后C點坐標為（4，5），代入y＝，

得到k＝20；

（2）設直線AB的解析式是y＝kx+b，將點A（2，4）、B（3，5）代入，

，

解得，

∴直線AB解析式為y＝x+2，

∴直線AB與新圖象的交點在過A點與AB垂直的直線上，

∴該直線解析式為y＝﹣x+6，

反比例函數與y＝﹣x+6的兩交點的距離即為EF的距離，

，

∴x2﹣6x+4＝0，

∴x1+x2＝6，x1x2＝4，

∴EF＝|x1﹣x2|＝2．