Question

（A類8分）在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交CD于點E，∠ADC的平分線交AB于點F．試判斷AF與CE是否相等，并說明理由．
（B類9分）如圖，四邊形ABCD是矩形，E是AB上一點，且DE=CD，CF⊥DE，垂足為F．試說明AD與CF是否相等，并說明理由．
（C類10分）如圖，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，CE⊥AC且與AB的延長線交于點E．試說明四邊形AECD是等腰梯形．

Answer 1

分析：A類：由平行四邊形的性質和角平分線的定義，得△ADF和△CBE全等的條件，由全等三角形的性質可得AF=CE．
B類：由矩形的性質，得∠AED=∠FDC，∠A=90°，再運用AAS證明△ADE≌△FCD，從而得到AD=CF．
C類：要證四邊形AECD是等腰梯形，只要證得∠DAB=∠E，AB∥CD即可．根據菱形的對角線平分每一組對角，結合垂直的定義，可得∠DAB=∠E=60°，又菱形的對邊AB∥CD，所以得證四邊形AECD是等腰梯形．

解答：解：A類：AF=CE．
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AD=CB，∠A=∠C，∠ADC=∠ABC
∵∠ADF=

1

2

∠ADC，∠CBE=

1

2

∠ABC
∴∠ADF=∠CBE
在△ADF和△CBE
AD=CB，∠A=∠C
∴△ADF≌△CBE
∴∠ADF=∠CBE
∴AF=CE．
（B類）AD=CF
證明：∵四邊形ABCD是矩形
∴∠AED=∠FDC，∠A=90°
在△ADE和△FCD中
∵∠CFD=∠A=90°，DE=CD，∠AED=∠FDC
∴△ADE≌△FCD
∴AD=CF
（C類10分）
證明：∵四邊形ABCD是菱形
∴AC平分∠DAB
∵AB∥CD，∠DAB=60°
∴∠CAE=

1

2

∠DAB=30°．
∵CE⊥AC
∴∠E=90°-∠CAE=90°-30°=60°
∴∠DAB=∠E
∵∠DAB=∠E，AB∥CD
∴四邊形AECD是等腰梯形．

點評：等腰梯形是一組對邊平行，另一組對邊不平行且相等的四邊形．