Question

（2005•蘭州）如圖，已知在△ABC中，AB=AC=6，cosB=?點O在邊AB上，⊙O過點B且分別與邊AB、BC交于點D、E，且EF⊥AC，垂足為F，設OB=x，CF=y．
（1）求證：直線EF是⊙O的切線；
（2）求y關于x的函數關系式（不要求寫自變量的取值范圍）．

Answer 1

【答案】分析：（1）判定直線EF是⊙O的切線，可以證明直線EF垂直于OE即可；
（2）求y關于x的函數關系式可以根據BDE∽△CEF得到關于x，y的關系式，從而得到函數解析式．
解答：（1）證明：連接OE
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵OB=OE
∴∠B=∠BEO
∴∠C=∠BEO
∴AC∥OE
∵EF⊥CA
∴EF⊥OE
點E在⊙O上
直線EF是⊙O的切線；

（2）解：過點A作AG⊥BC，垂足為G，
∴BG=AB=2．
∵AB=AC，
∴BC=2BG=4．
∵OB=x，
∴BD=2x．
∵BD是⊙O的直徑，
∴∠DEB=90°．
∵cosB==，
∵OB=x，
∴BD=2x，
∴BE=x，
∴CE=BC-BE=4-x．
∵△BDE∽△CEF，
∴=，
∴y=-x+．
點評：本題考查了切線的證明方法，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．本題是一個函數與相似性相結合的題目，是中考中經常出現的問題．