Question

（2005•蘭州）如圖，已知在△ABC中，AB=AC=6，cosB=?點(diǎn)O在邊AB上，⊙O過(guò)點(diǎn)B且分別與邊AB、BC交于點(diǎn)D、E，且EF⊥AC，垂足為F，設(shè)OB=x，CF=y．
（1）求證：直線(xiàn)EF是⊙O的切線(xiàn)；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)自變量的取值范圍）．

Answer 1

【答案】分析：（1）判定直線(xiàn)EF是⊙O的切線(xiàn)，可以證明直線(xiàn)EF垂直于OE即可；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式可以根據(jù)BDE∽△CEF得到關(guān)于x，y的關(guān)系式，從而得到函數(shù)解析式．
解答：（1）證明：連接OE
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵OB=OE
∴∠B=∠BEO
∴∠C=∠BEO
∴AC∥OE
∵EF⊥CA
∴EF⊥OE
點(diǎn)E在⊙O上
直線(xiàn)EF是⊙O的切線(xiàn)；

（2）解：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC，垂足為G，
∴BG=AB=2．
∵AB=AC，
∴BC=2BG=4．
∵OB=x，
∴BD=2x．
∵BD是⊙O的直徑，
∴∠DEB=90°．
∵cosB==，
∵OB=x，
∴BD=2x，
∴BE=x，
∴CE=BC-BE=4-x．
∵△BDE∽△CEF，
∴=，
∴y=-x+．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的證明方法，要證某線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，已知此線(xiàn)過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．本題是一個(gè)函數(shù)與相似性相結(jié)合的題目，是中考中經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題．