Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC的角平分線AD交BC于E，交△ABC的外接圓⊙O于D．
（1）求證：△ABE∽△ADC；
（2）請連接BD，OB，OC，OD，且OD交BC于點F，若點F恰好是OD的中點．求證：四邊形OBDC是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠BAC的角平分線AD，

∴∠BAE=∠CAD，

∵∠ABC=∠ADC，

∴△ABE∽△ADC

（2）證明：∵∠BAD=∠CAD，

∴ ，

∵OD為半徑，

∴DO⊥BC（垂徑定理），

∵F為OD的中點，

∴OB=BD，OC=CD，

∵OB=OC，

∴OB=BD=CD=OC，

∴四邊形OBDC是菱形．

【解析】（1）根據圓周角定理求出∠B=∠D，根據相似三角形的判定推出即可；（2）根據垂徑定理求出OD⊥BC，根據線段垂直平分線性質得出OB=BD，OC=CD，根據菱形的判定推出即可．
【考點精析】掌握菱形的判定方法和圓周角定理是解答本題的根本，需要知道任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．