Question

【題目】如圖，在中，，，，動點從點出發，在邊上以每秒2的速度向點勻速運動，同時動點從點出發，在邊上以每秒的速度向點勻速運動，設運動時間為()，連接．

（1）若，求的值；

（2）若與相似，求的值；

（3）當為何值時，四邊形的面積最小？并求出最小值．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）或；（3） 當時，取最小值，．

【解析】

（1）由已知條件得出AB=10，BC＝5，由題意知BM=2t，CN＝t，BN＝5t，由BM=BN得出方程2t＝5t，解方程即可；

（2）分兩種情況：①當△MBN∽△ABC時，由相似三角形的對應邊成比例得出比例式，即可得出t的值；

②當△NBM∽△ABC時，由相似三角形的對應邊成比例得出比例式，即可得出t的值；

（3）過M作MD⊥BC于點D，則MD∥AC，證出△BMD∽△BAC，得出比例式求出MD=t；四邊形ACNM的面積y=△ABC的面積-△BMN的面積，得出y是t的二次函數，由二次函數的性質即可得出結果．

解：（1）在中，∵，，，

∴，．

由題意知，，

∴．

由，得．

解得；

（2）①當∽時，

得，即

解得；

②當∽時，

得，即

解得

∴當或時，與相似；

（3）如圖，過點作于點，則．

設四邊形的面積為．

由題意，得

∵

∴當時，取最小值，.