Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B（0，3），頂點C位于第二象限，連結AB，AC，BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點D是y軸正半軸上一點，且在B點上方，若∠DCB=∠CAB，請你猜想并證明CD與AC的位置關系；
（3）設與△AOB重合的△EFG從△AOB的位置出發，沿x軸負方向平移t個單位長度(0＜t≤3)時，△EFG與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t之間的函數關系式．

Answer 1

（1）；（2）；（3）S＝ 

試題分析：（1）先根據拋物線與y軸交于點B（0，3）求得m的值，再由拋物線的頂點在第二象限，即可得到結果；
（2）由A（-3，0），B（0，3），C（-1，4）根據勾股定理可求得，根據勾股定理的逆定理可得，再結合∠DCB=∠CAB，即可證得結果；
（3）當0＜t≤時，如圖，EF交AB于點Q，GF交AC于點N，過N做MP//FE交x軸于P點，交BF的延長線點M，BF的延長線交AC于點K，由△AGN∽△KFN根據相似三角形的性質可得，即可表示出PN，即可得到結果；當＜t≤3時，如圖， EF交AB于點N，交AC于點M，BF交AC于點P，由△AME∽△PMF根據相似三角形的性質可得，即可表示出ME，從而可以求得結果.
（1）拋物線與y軸交于點B（0，3）
∴ 
∴ 
拋物線的頂點在第二象限，
∴ 
∴拋物線的解析式為；

（2）A（-3，0），B（0，3），C（-1，4）
∴
∴
∴
∴
又
∴
∴；
（3）當0＜t≤時，如圖，EF交AB于點Q，GF交AC于點N，過N做MP//FE交x軸于P點，交BF的延長線點M，BF的延長線交AC于點K

由△AGN∽△KFN
得
即
解得PN＝2t
∴
當＜t≤3時，如圖， EF交AB于點N，交AC于點M，BF交AC于點P

由△AME∽△PMF
得
即
解得ME＝2(3－t)
∴
綜上所述：S＝ 
點評：解答本題的關鍵是讀懂題意，畫出圖形，正確作出輔助線，熟練運用相似三角形的性質及三角形的面積公式解決問題.