Question

【題目】如圖，拋物線經過點，交y 軸于點C：

（1）求拋物線的頂點坐標．

（2）點為拋物線上一點，是否存在點使，若存在請直接給出點坐標；若不存在請說明理由．

（3）將直線繞點順時針旋轉，與拋物線交于另一點，求直線的解析式．

Answer 1

【答案】（1），頂點坐標為（）；（2）；（3）

【解析】

（1）由A、B的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；
（2）由條件可求得點D到x軸的距離，即可求得D點的縱坐標，代入拋物線解析式可求得D點坐標；
（3）由勾股定理的逆定理可證得BC⊥AC，設直線AC和BE交于點F，過F作FM⊥x軸于點M，則可得BF=BC，利用相似三角形的性質可求得F點的坐標，利用待定系數法可求得直線BE解析式．

（1）由題意得

解得：

∴

∴ 頂點坐標為（）

（2）存在，

由題意可知C（0，2），A（-1，0），B（4，0），
∴AB=5，OC=2，
∴S△ABC=ABOC=×5×2=5，
∵S△ABC=S△ABD，
∴S△ABD=×5=，
設D（x，y），
∴AB|y|=×5|y|=，解得|y|=3，
當y=3時，由-x2+x+2=3，解得x=1或x=2，此時D點坐標為（1，3）或（2，3）；
當y=-3時，由-x2+x+2=-3，解得x=-2或x=5，此時D點坐標為（-2，-3）或（5，-3）；
綜上可知存在滿足條件的點D，其坐標為（1，3）或（2，3）或（-2，-3）或（5，-3）；

（3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，
∴AC= ，BC=

∴AC2+BC2=25=AB2，
∴△ABC為直角三角形，即BC⊥AC．
設直線AC與直線BE交于點F，過F作FM⊥x軸于點M，如圖所示．

由題意可知∠FBC=45°，
∴∠CFB=45°，
∴CF=BC=2

∵OC∥MF，
∴△AOC∽△AMF，
∴

∴AM=3AO=3，MF=3OC=6，
∴點F（2，6）．
設直線BE的解析式為y=kx+m（k≠0），
則 ，解得： ，
∴直線BE的解析式為y=-3x+12．