Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0是坐標(biāo)原點(diǎn)．邊長(zhǎng)為6的正方形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸和y軸的正半軸上，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接OE、BE，BE的延長(zhǎng)線交OA于點(diǎn)P，若△OCE的面積為12．

（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）求△OPE的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)E的坐標(biāo)是（4，2）；

（2）△OPE的周長(zhǎng)為.

【解析】（1）過點(diǎn)E作EM⊥y軸于點(diǎn)M，根據(jù)面積公式EM=4，根據(jù)正方形性質(zhì)求出CM=ME=4，即可求出答案；

（2）根據(jù)全等求出BE=OE，求出直線BE的解析式，求出P的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出BP，即可求出答案.

解：（1）過點(diǎn)E作EM⊥y軸于點(diǎn)M，

∴OCEM=12，

即×6×EM=12， ∴EM=4，

∵四邊形OABC是正方形，∴∠MCE=45°，

∴△MEC是等腰直角三角形， ∴MC=ME=4，

∴MO=6﹣4=2，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是（4，2）；

（2）設(shè)直線BE的解析式為y=kx+b，

把B（6，6）和點(diǎn)E（4，2）的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得： ，

解得：k=2，b=﹣6，

∴直線BE的解析式為y=2x﹣6，

令2x﹣6=0得：x=3，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，0），∴OP=3，

∵四邊形ABCO是正方形，

∴OC=CB，∠BCE=∠OCE，

在△OCE和△BCE中，

OC=BC，∠OCE=∠BCE，CE=CE，

∴△OCE≌△BCE（SAS），

∴OE=BE，

在Rt△PBA中，由勾股定理可得：PB==3，

∴C△OPE =OE+PE+OP=3+PB=3+3．

“點(diǎn)睛”本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵.