Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中， BC＝8，以AB為直徑的⊙O與邊AC、BC分別交于點D、E，過點D作DF⊥BC，垂足為F．

（1）求證：DF為⊙O的切線．

（2）求弧DE的長度．

（3）求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）2

【解析】

（1）連接DO，先證出△OAD是等邊三角形，故∠ADO＝60°，再求出∠CDF，最后證出OD⊥DF，利用切線的判定即可得到.DF為⊙O的切線；

（2）連接OD、OE，先求出∠DOE的度數，再代入弧長公式即可；

（3）先求出CD的長，再求CF的長，利用EF=BC-CF-BE即可.

（1）證明：連接DO，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A＝∠C＝60°，

∵OA＝OD，

∴△OAD是等邊三角形，

∴∠ADO＝60°，

∵DF⊥BC，

∴∠CDF＝90°﹣∠C＝30°，

∴∠FDO＝180°﹣∠ADO﹣∠CDF＝90°，

即OD⊥DF，

∵OD為半徑，

∴DF為⊙O的切線；

（2）連接OD、OE

∵EO=OB，∠EOB=60°

∴△OBE是等邊三角形，

∴∠EOB =60°

∴∠DOE=180°－∠EOB－AOD=60°

∵AB=BC=8

∴的半徑為4

∴

（3）解：∵△OAD是等邊三角形，

∴AD＝AO＝AB＝4，

∴CD＝AC﹣AD＝4，

Rt△CDF中，∠CDF＝30°，

∴CF＝CD＝2，DF＝2，

連接OE，

∵OB＝OE，∠B＝60°，

∴△OBE是等邊三角形，

∴OB＝BE＝4，

∴EF＝BC﹣CF﹣BE＝8﹣2﹣4＝2；