Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，拋物線的對(duì)稱軸交拋物線于點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖2，點(diǎn)為直線上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)，求線段的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由題意利用待定系數(shù)法將，代入求解即可；

（2）根據(jù)題意作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交軸于點(diǎn)，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，并設(shè)直線的解析式為，將，代入，進(jìn)行分析運(yùn)算求解即可；

（3）根據(jù)題意過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為,交于點(diǎn)，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)并設(shè)直線的解析式為，將，代入進(jìn)行運(yùn)算以及設(shè)平行于的直線為進(jìn)行分析運(yùn)算.

解：（1）將，代入得，解得，

∴拋物線的解析式為.

（2）作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交軸于點(diǎn)，此時(shí)的周長(zhǎng)最小．

設(shè)直線的解析式為，將，

代入，得 ,

解得，

∴直線的解析式為

當(dāng)時(shí)，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為,交于點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為

設(shè)直線的解析式為，

將，代入，

得

解得，

∴直線的解析式為

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為

設(shè)平行于的直線為，

解方程組，

得

由判別式，

得

此時(shí)，直線與直線的距離即為的最大值．

求得，.