Question

（2012•龍巖）在平面直角坐標系xOy中，一塊含60°角的三角板作如圖擺放，斜邊AB在x軸上，直角頂點C在y軸正半軸上，已知點A（-1，0）．

（1）請直接寫出點B、C的坐標：B

（3，0）

、C

（0，

3

）

；并求經過A、B、C三點的拋物線解析式；
（2）現有與上述三角板完全一樣的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把頂點E放在線段AB上（點E是不與A、B兩點重合的動點），并使ED所在直線經過點C．此時，EF所在直線與（1）中的拋物線交于點M．
①設AE=x，當x為何值時，△OCE∽△OBC；
②在①的條件下探究：拋物線的對稱軸上是否存在點P使△PEM是等腰三角形？若存在，請寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用解直角三角形求出OC的長度，再求出OB的長度，從而可得點B、C的坐標，然后利用待定系數法求二次函數解析式解答；
（2）①根據相似三角形對應邊成比例列式求出OE的長度，再根據點A的坐標求出AO的長度，相加即可得到AE的長度，即x的值；
②根據①確定點E在對稱軸上，然后求出∠FEB=60°，根據同位角相等兩直線平行求出EF∥AC，再求出直線EF的解析式，與拋物線解析式聯立求出點M的坐標，再利用兩點間的距離公式求出EM的長度，再分PE=EM，PE=PM，PM=EM三種情況分別求解．

解答：解：（1）∵點A（-1，0），
∴OA=1，
由圖可知，∠BAC是三角板的60°角，∠ABC是30°角，
所以，OC=OA•tan60°=1×

3

=

3

，
OB=OC•cot30°=

3

×

3

=3，
所以，點B（3，0），C（0，

3

），
設拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
則

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c= 3

，
解得

a=- 3 3 b= 2 3 3 c= 3

，
所以，拋物線的解析式為y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

；

（2）①∵△OCE∽△OBC，
∴

OE

OC

=

OC

OB

，
即

OE

3

=

3

3

，
解得OE=1，
所以，AE=OA+OE=1+1=2，
即x=2時，△OCE∽△OBC；

②存在．理由如下：
拋物線的對稱軸為x=-

b

2a

=-

2 3 3

2×(- 3 3 )

=1，
所以，點E為拋物線的對稱軸與x軸的交點，
∵OA=OE，OC⊥x軸，∠BAC=60°，
∴△ACE是等邊三角形，
∴∠AEC=60°，
又∠DEF=60°，
∴∠FEB=60°，
∴∠BAC=∠FEB，
∴EF∥AC，
由A（-1，0），C（0，

3

）可得直線AC的解析式為y=

3

x+

3

，
∵點E（1，0），
∴直線EF的解析式為y=

3

x-

3

，
聯立

y= 3 x- 3 y=- 3 3 x2+ 2 3 3 x+ 3

，
解得

x1=2 y1= 3

，

x2=-3 y2=-4 3

（舍去），
∴點M的坐標為（2，

3

），
EM=

(2-1)2+( 3 -0)2

=2，
分三種情況討論△PEM是等腰三角形，
當PE=EM時，PE=2，
所以，點P的坐標為（1，2）或（1，-2），
當PE=PM時，∵∠FEB=60°，
∴∠PEF=90°-60°=30°，
PE=

1

2

EM÷cos30°=

1

2

×2÷

3

2

=

2 3

3

，
所以，點P的坐標為（1，

2 3

3

），
當PM=EM時，PE=2EM•cos30°=2×2×

3

2

=2

3

，
所以，點P的坐標為（1，2

3

），
綜上所述，拋物線對稱軸上存在點P（1，2）或（1，-2）或（1，

2 3

3

）或（1，2

3

），使△PEM是等腰三角形．

點評：本題是對二次函數的綜合考查，主要涉及直角三角形的性質，待定系數法求二次函數解析式，相似三角形對應邊成比例的性質，等腰三角形的性質，（2）②要根據等腰三角形腰的不同進行分情況討論，根據題目圖形，點M在x軸下方的情況可以舍去不予考慮．