Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知點A，點B，點C是y軸上的一個動點，當∠BCA＝30°時，點C的坐標為______．

Answer 1

【答案】(0，)，(0，)

【解析】

（1）如圖1，以AB為邊在x軸的上方作等邊△PAB，再以點P為圓心，PA為半徑作圓P，交y軸的正半軸于點C，連接BC、AC，則此時∠BCA=30°，再根據題中的已知條件求得線段OC的長，即可得到此時點C的坐標；

（2）如圖2，和（1）同理在y軸的負半軸可求得另一個符合要求的點C的坐標.

（1）如圖1，以AB為邊在x軸的上方作等邊△PAB，則∠APB=60°，再以點P為圓心，PA為半徑作圓P，交y軸的正半軸于點C，連接BC、AC，則此時由∠APB=60°可得∠BCA=30°，

∵點A、B的坐標分別為：，，

∴AB=，OB=

∴PA=PC=AB=，

過點P作PF⊥y軸于點F，PE⊥x軸于點E，則四邊形PEOF是矩形，

∴OF=PE，PF=OE，

∵在等邊△PAB中，PE=PA·sin60°=，BE=AB=，

∴OF=12，OE=OB-BE=，

∴PF=，

又∵在Rt△PFC中，PC=，∠PFC=90°，

∴CF=，

∴OC=OF+CF=，

∴此時點C的坐標為；

（2）如圖2，以AB為邊在x軸的下方作等邊△PAB，則∠APB=60°，再以點P為圓心，PA為半徑作圓P，交y軸的負半軸于點C，連接BC、AC，則此時由∠APB=60°可得∠BCA=30°，和（1）同理可得此時點C的坐標為：；

綜上所述，符合條件的點C的坐標為或，

故答案為：或.