Question

進入三月以來，重慶的氣溫漸漸升高，羽絨服進入了銷售淡季．為此重慶某百貨公司對某品牌的A款羽絨服進行了清倉大處理．已知A款羽絨服的銷售價格y元與第x天（1≤x≤10，且為整數(shù)）之間的關系可用如下表表示：

時間（x天）	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
售價y（元/件）	550	500	450	400	350	300	300	300	300	300

在銷售的前6天，A款羽絨服的銷售數(shù)量z₁（件）與第x天的關系式為z₁=20x+40（1≤x≤6且為整數(shù)）；后4天（7≤x≤10，且為整數(shù)）的銷售數(shù)量z₂件與第x天的關系如圖所示
（1）請觀察題中表格，用所學過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關知識，直接寫出y與x之間的函數(shù)關系式，根據(jù)如圖所示的變化趨勢，直接寫出z₂與x之間的一次函數(shù)關系式．
（2）若A款羽絨服的進價為每件200元，該專柜共有5個員工，每位員工每天的工資為100元，該專柜每天所需的固定支出為1000元，請結合上述信息，求這10天內哪天的利潤最大，并求出這個最大利潤．
（3）在第（2）問的前提下，為了提高收益、減少庫存，商場在第11天作出以下決定：第11-15天繼續(xù)維持A款羽絨服的售價，結果每天的銷售量均與第10天的持平，同時在第11-15天將B款羽絨服也作為促銷商品，而且作為銷售重點，已知B款羽絨服的進價仍為200元每件，銷售價格比A款羽絨服取得最大利潤當天的售價降低了a%，而每天銷售量則比第10天A款羽絨服的銷量提高了2a%，最后5天A、B兩款羽絨服的總利潤為27100元，請你參考以下數(shù)據(jù)，計算出a的值．
參考數(shù)據(jù)：2.5²=6.25，2.6²=6.76，2.7²=7.29，2.8²=7.84．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，可得出y與x的函數(shù)關系式，設z₂=kx+b，將點（7，80），（10，20）代入可得出z₂與x的函數(shù)關系式；
（2）利用二次函數(shù)及一次函數(shù)的性質，分別得出當1≤x≤6時，7≤x≤10時利潤的最大值，比較即可得出答案；
（3）根據(jù)最后5天A、B兩款羽絨服的總利潤為27100元，可列出方程，解出即可估算出a的值．

解答：解：（1）當1≤x≤6時，y=-50x+600
當7≤x≤10時，y=300；
故可得y=

-50x+600(1≤x≤6) 300(7≤x≤10)

；
當7≤x≤10時，z₂=kx+b，
將點（7，80），（10，20）代入可得

7k+b=80 10k+b=20

，
解得：

k=-20 b=220

故z₂=-20x+220；
（2）當1≤x≤6時，
w=（-50x+600-200）（20x+40）-1000-500
=-1000x²+6000x+14500
=-1000（x-3）²+23500，
當x=3時，w取得最大，w_最大=23500；
當7≤x≤10時，
w=（300-200）（-20x+220）-1000-500
=-2000x+20500
因為-2000＜0，所以w隨x的增大而減小
所以當x=7時，w取得最大，w_最大=6500，
綜上所述，第3天利潤最大，最大利潤為23500元．
（3）由題意得，5{20×（300-200）+[450（1-a%）-200]•20（1+2a%）-1500}=27100，
令a%=t，
整理得：18t²-t-0.08=0，
△=6.76，
解得：t=≈

1+2.6

36

=0.1或t=≈

1-2.6

36

（不合題意，舍去）
所以a=10．

點評：本題考查了二次函數(shù)的應用，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及分段函數(shù)的知識，解答本題的關鍵是要求同學們熟練掌握配方法求二次函數(shù)最值得應用，難度較大．