Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝+n（n＜0）與坐標軸交于A、B兩點，與y＝（x＞0）交于點E，過點E作EF⊥x軸，垂足為F，且△OAB∽△FEB，相似比為．

（1）若n=-，求m的值；

（2）連接OE，試探究m與n的數量關系，并直接寫出直線OE的解析式．

Answer 1

【答案】（1）m=3;（2）m＝12n2, y＝x

【解析】

（1）利用直線方程求得A、B兩點坐標，利用相似三角形的相似比求得點E的坐標，由待定系數法求得m的值；

（2）由函數圖象上點的坐標特征探究m與n的數量關系，待定系數求得直線OE的解析式．

（1）當n=-時，直線方程是y＝﹣，

當x＝0時，y＝﹣，即A（0，﹣），則OA＝，

當y＝0時，x＝1，即B（1，0），則OB＝1．

∵△OAB∽△FEB，相似比為，

∴EF＝2OA＝1，BF＝2OB＝2，

OF＝OB+BF＝1+2＝3，

∴點E的坐標為（3，1），

∵點E在反比例函數y＝（x＞0）的圖象上，

∴m＝3×1＝3；

（2）∵直線y＝+n（n＜0）與坐標軸交于A、B兩點，

∴當x＝0時，y＝n，即A（0，n），則OA＝﹣n．

當y＝0時，x＝﹣2n，即B（﹣2n，0），則OB＝﹣2n，

∵△OAB∽△FEB，相似比為，

∴EF＝2OA＝﹣2n，BF＝2OB＝﹣4n，

OF＝OB+BF＝﹣6n，

∴點E的坐標為（﹣6n，﹣2n）．

∵點E在反比例函數y＝（x＞0）的圖象上，

∴m＝（﹣6n）（﹣2n）＝12n2；

由點E的坐標為（﹣6n，﹣2n）得到直線OE的解析式為：y＝x．