Question

5．某超市準備購進A、B兩種品牌臺燈，其中A品牌臺燈每盞進價比B品牌臺燈每盞進價貴30元，A品牌臺燈每盞售價120元，B品牌臺燈每盞售價80元．已知，用1040元購進的A品牌臺燈的數量與用650元購進的B品牌臺燈數量相同．
（1）求A、B兩種品牌臺燈的進價分別是多少元？
（2）該超市打算購進A、B兩種品牌臺燈共100盞，同時要求A、B兩種品牌臺燈的總利潤不得少于3400元，不得多于3550元，問該超市有幾種進貨方案？
（3）在（2）的所有進貨方案中，該超市決定對A品牌臺燈進行降價促銷，A品牌臺燈每盞降價m（8?m?15）元，B品牌臺燈售價不變，那么該超市如何進貨才能獲得最大利潤？

Answer 1

分析 （1）根據：“1040元購進的A品牌臺燈的數量=650元購進的B品牌臺燈數量”相等關系，列方程求解可得；
（2）根據：“3400≤A、B品牌臺燈的總利潤≤3550”不等關系，列不等式組，可知數量范圍，確定方案數；
（3）利用：總利潤=A品牌臺燈利潤+B品牌臺燈利潤，列出函數關系式，結合函數增減性，分類討論即可．

解答 解：（1）設A品牌臺燈進價為x元/盞，則B品牌臺燈進價為（x-30）元/盞，根據題意得
$\frac{1040}{x}=\frac{650}{x-30}$，解得x=80，
經檢驗x=80是原分式方程的解．
則A品牌臺燈進價為80元/盞，
B品牌臺燈進價為x-30=80-30=50（元/盞），
答：A、B兩種品牌臺燈的進價分別是80元/盞，50元/盞．
（2）設超市購進A品牌臺燈a盞，則購進B品牌臺燈有（100-a）盞，根據題意，有
$\left\{\begin{array}{l}{（120-80）a+（80-50）（100-a）≥3400}\\{（120-80）a+（80-50）（100-a）≤3550}\end{array}\right.$
解得，40≤a≤55．
∵a為整數，
∴該超市有16種進貨方案．
（3）令超市銷售臺燈所獲總利潤記作w，根據題意，有
w=（120-m-80）a+（80-50）（100-a）
=（10-m）a+3000
∵8?m?15
∴①當8＜m＜10時，即10-m＜0，w隨a的增大而減小，
故當a=40時，所獲總利潤w最大，
即A品牌臺燈40盞、B品牌臺燈60盞；
②當m=10時，w=3000；
故當A品牌臺燈數量在40至55間，利潤均為3000；
③當10＜m＜15時，即10-m＞0，w隨a的增大而增大，
故當a=55時，所獲總利潤w最大，
即A品牌臺燈55盞、B品牌臺燈45盞；

點評 本題考查了列分式方程解實際問題的運用，不等式組的運用及一次函數的性質的運用，解答時求出一次函數的解析式并討論是關鍵，屬中檔題．