Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6．點P從點A出發，沿折線AB—BC向終點C運動，在AB上以每秒5個單位長度的速度運動，在BC上以每秒3個單位長度的速度運動．點Q從點C出發，沿CA方向以每秒2個單位長度的速度運動．點P、Q兩點同時出發，當點P停止時，點Q也隨之停止．設點P運動的時間為t秒．

（1）求線段AC的長．

（2）求線段BP的長．（用含t的代數式表示）

（3）設△APQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式．

（4）連結PQ，當PQ與△ABC的一邊平行或垂直時，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當0≤t≤2時，BP=10-5t；當2＜t≤4時，BP=3·(t-2)=3t-6；（3）；（4）t=0或t=4或或或.

【解析】

（1）利用勾股定理可求AC；

（2）由題意可知，當0≤t≤2時，點P在AB上，當2＜t≤4時，點P在BC上（不包含B），分情況求解即可；

（3）分情況討論：①當0≤t≤2時，②當2＜t≤4時，分別用t表示出AQ和△APQ中邊AQ上的高，利用三角形面積公式求解即可；

（4）分四種情況討論：①當PQ⊥BC時，②當PQ⊥AB時，③當PQ⊥AC時，④當PQ∥AB時，根據題意，分別利用同角的三角函數相等和相似三角形的判定和性質求解即可.

解：（1）∵∠C=90°，AB=10，BC=6，

∴；

（2）由題意可知，當0≤t≤2時，點P在AB上，當2＜t≤4時，點P在BC上（不包含B），

∴當0≤t≤2時，BP=10-5t，

當2＜t≤4時，BP=3·(t-2)=3t-6；

（3）分兩種情況討論：

①當0≤t≤2時，過點P作PE⊥AC于點E，

由題意得：AP=5t，CQ=3t，則AQ=8-3t，

∵sin∠PAE=，

∴PE=3t，

∴；

②當2＜t≤4時，

∵BP=3t-6，

∴CP=12-3t，

∴，

綜上所述：；

（4）分四種情況討論：

①由題意可得，當PQ⊥BC時，t=0或t=4；

②當PQ⊥AB時，如圖，

∵AP=5t，AQ=8-3t，

∴，

∴，

解得：；

③當PQ⊥AC時，如圖，

∵AP=5t，AQ=8-3t，

∴，

∴，

解得：；

④當PQ∥AB時，易得△CPQ∽△CBA，如圖，

∵CP=12-3t，CQ=3t，

∴，即，

解得：，

綜上所述，當t=0或t=4或或或時，PQ與△ABC的一邊平行或垂直.