Question

【題目】如圖，△ABC中，AC=BC，AB=4，∠ACB=90°，以AB的中點D為圓心DC長為半徑作圓DEF，設∠BDF=α（0°＜α＜90°），當α變化時圖中陰影部分的面積為 （圓：∠EDF=90°，圓的面積=）

Answer 1

【答案】π﹣2
【解析】解：作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，連接DC，如圖所示：

∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
DM=AD=AB，DN=BD=AB，
∴DM=DN，
∴四邊形DMCN是正方形，
∴∠MDN=90°，
∴∠MDG=90°﹣∠GDN，
∵∠EDF=90°，
∴∠NDH=90°﹣∠GDN，
∴∠MDG=∠NDH，
在△DMG和△DNH中，，
∴△DMG≌△DNH（AAS），
∴四邊形DGCH的面積=正方形DMCN的面積，
∵正方形DMCN的面積=DM2=AB2 ， =×42=2，
∴四邊形DGCH的面積=AB2 ，
∵扇形FDE的面積=
∴陰影部分的面積=扇形面積﹣四邊形DGCH的面積=π﹣2，
所以答案是：π﹣2．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解扇形面積計算公式的相關知識，掌握在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）．