Question

【題目】如圖，已知點E在直角△ABC的斜邊AB上，以AE為直徑的⊙O與直角邊BC相交于點D，AD平分∠BAC．

（1）求證，BC是⊙O的切線．

（2）若BE＝2，BD＝4，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）3

【解析】

（1）先連接OD，再由OD∥AC和AC⊥BC可知OD⊥BC從而得證；
（2）利用切割線定理可先求出AB，進而求出圓的直徑，半徑則可求出．

（1）證明：連接OD，

∵AD平分∠BAC

∴∠1=∠2

∵OA=OD

∴∠1=∠3

∴∠2=∠3；

∴OD∥AC，

又∵AC⊥BC，

∴OD⊥BC，

∴BC是⊙O的切線，

（2）解：∵BC與圓相切于點D．

∴BD2=BEBA，

∵BE=2，BD=4，

∴BA=8，

∴AE=AB﹣BE=6，

∴⊙O的半徑為3．