Question

【題目】已知△ABC中，∠CAB=90°，AC=AB=3，△CDE中，∠CDE=90°，CD=DE=5，連接BE，取BE中點F，連接AF、DF．

（1）如圖1，若C、B、E三點共線，H為BC中點．

①直接指出AF與DF的關系　 　；

②直接指出FH的長度　 　；

（2）將圖（1）中的△CDE繞C點逆時針旋轉a（如圖2，0°＜α＜180°），試確定AF與DF的關系，并說明理由；

（3）在（2）中，若AF=，請直接指出點F所經歷的路徑長．

Answer 1

【答案】（1）①AF=DF，且AF⊥DF；②；（2）結論：AF=DF，且AF⊥DF（3）當旋轉30°或150°時，AF=，點F經歷的路徑長為或

【解析】

(1)①AF=DF，且AF⊥DF，如圖1，過F作MN∥CD，交DE于M，交CA的延長線于N，根據已知條件易證四邊形FMCN為矩形，再證△FNA≌△FMD，即可得DF=AF，∠AFN=∠FDM，再由∠FDM+∠MFD=90°，可得∠MFD+∠AFN=90°，即∠DFA=90°，所以DF⊥AF； ②因H是BC的中點，可得BH=BC，由FH=BF+BH即可解答；(2) AF=DF，且AF⊥DF，延長AF至S使FS=AF，連接DS、SE，延長SE交AC于T，先證△ABF≌△SEF，再證△SED≌△ACD，即可證得結論;(3) 分旋轉30°或150°兩種情況求點F所經歷的路徑長.

（1）①AF=DF，且AF⊥DF，

理由是：如圖1，過F作MN∥CD，交DE于M，交CA的延長線于N，

∵△ABC是等腰直角三角形，且AC=3，

∴BC=3，

同理EC=5，

∵C、B、E三點共線，

∴EB=5﹣3=2，

∵F是BE的中點，

∴EF=BE=，

∵∠E=45°，

∴EM=FM=1，

∴DM=5﹣1=4，

∵∠ECD+∠ACB=45°+45°=90°

∴∠EDC=∠ACD=∠MNC=90°，

∴四邊形MDCN是矩形，

∴CN=DM=4，MN=DC=5，

∴FN=DM=4，FM=AN=1，

∵∠DMF=∠FNA=90°，

∴△FNA≌△DMF，

∴DF=AF，∠AFN=∠FDM，

∵∠FDM+∠MFD=90°，

∴∠MFD+∠AFN=90°，

∴∠DFA=90°，

∴DF⊥AF；

②∵H是BC的中點，

∴BH=BC=，

∴FH=BF+BH=+=；

故答案為：①AF=DF，且AF⊥DF；②；

（2）結論：AF=DF，且AF⊥DF，

理由如下：

延長AF至S使FS=AF，連接DS、SE，延長SE交AC于T，

∵∠AFB=∠EFS，BF=EF，

∴△ABF≌△SEF，

∴AB=SE=AC，∠FAB=∠FSE，

∴∠STC=∠BAC=90°，

∴∠EDC+∠STC=180°，

∴∠TED+∠TCD=180°，

∵∠TED+∠SED=180°，

∴∠SED=∠ACD,

∵ED=CD，

∴△SED≌△ACD，

∴AD=SD，∠ADC=∠SDE，

∴∠ADS=90°，

∴AF=DF，且AF⊥DF；

（3）∵F是BE的中點，H是BC的中點，

∴FH是△BEC的中位線，

∴FH=EC=，

∵在旋轉過程中，CE是定值，則FH也是定值，

∴點F的運動路徑是以H為中點，以FH為半徑的圓，

如圖4，過D作DM⊥AC，交AC的延長線于M，

由（2）知：△AFD是等腰直角三角形，

∵AF=，

∴AD=×=7，

設CM=x，DM=y，

則，

解得：x=，

∴CM=，

∵CD=5，

∴∠CDM=30°，

∴∠DCM=60°，

∵∠ACB+∠DCE+∠BCE+∠DCM=180°，

∴∠BCE=30°，即α=30°，

此時，點F所經歷的路徑長==．

如圖5，過D作DM⊥AC，交AC的延長線于M，

同理得：∠DCM=60°，

∵∠ECD=45°，

∴∠ECM=60°﹣45°=15°，

∴α=∠BCE=180°﹣45°+15°=150°，

此時，點F所經歷的路徑長==．

綜上所述，當旋轉30°或150°時，AF=，點F經歷的路徑長為或．