Question

【題目】綜合題【再現(xiàn)】如圖①，在△ABC中，點D，E分別是AB，AC的中點，可以得到：DE∥BC，且DE= BC．（不需要證明）

（1）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，判斷四邊形EFGH的形狀，并加以證明．

（2）【應用】在（1）【探究】的條件下，四邊形ABCD中，滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形？你添加的條件是： ． （只添加一個條件）
（3）如圖③，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，對角線AC，BD相交于點O．若AO=OC，四邊形ABCD面積為5，則陰影部分圖形的面積和為 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：【探究】平行四邊形．

理由：如圖1，連接AC，

∵E是AB的中點，F(xiàn)是BC的中點，

∴EF∥AC，EF= AC，

同理HG∥AC，HG= AC，

綜上可得：EF∥HG，EF=HG，

故四邊形EFGH是平行四邊形．

（2）AC=BD
（3）
【解析】

【應用】（2）添加AC=BD，

理由：連接AC，BD，同（1）知，EF= AC，

同【探究】的方法得，F(xiàn)G= BD，

∵AC=BD，

∴EF=FG，

∵四邊形EFGH是平行四邊形，

∴EFGH是菱形；

所以答案是AC=BD；（3）如圖2，由【探究】得，四邊形EFGH是平行四邊形，

∵F，G是BC，CD的中點，

∴FG∥BD，F(xiàn)G= BD，

∴△CFG∽△CBD，

∴ ，

∴S△BCD=4S△CFG，

同理：S△ABD=4S△AEH，

∵四邊形ABCD面積為5，

∴S△BCD+S△ABD=5，

∴S△CFG+S△AEH= ，

同理：S△DHG+S△BEF= ，

∴S四邊形EFGH=S四邊形ABCD﹣（S△CFG+S△AEH+S△DHG+S△BEF）=5﹣ = ，

設AC與FG，EH相交于M，N，EF與BD相交于P，

∵FG∥BD，F(xiàn)G= BD，

∴CM=OM= OC，

同理：AN=ON= OA，

∵OA=OC，

∴OM=ON，

易知，四邊形ENOP，F(xiàn)MOP是平行四邊形，

∴S陰影= S四邊形EFGH= ，

所以答案是 ．

【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形．