Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2，3)、B(6，3)，連結(jié)AB. 如果點(diǎn)P
在直線y＝x－1上，且點(diǎn)P到直線AB的距離小于1，那么稱點(diǎn)P是線段AB的“鄰近點(diǎn)”．
（1）判斷點(diǎn)Ｃ(， ) 是否是線段AB的“鄰近點(diǎn)”，并說(shuō)明理由；
（2）若點(diǎn)Q (m，n)是線段AB的“鄰近點(diǎn)”，求m的取值范圍．

Answer 1

（1）是，理由見解析（2）3＜m＜5

解：（1）點(diǎn)Ｃ(，) 是線段AB的“鄰近點(diǎn)”。理由如下：
∵－1＝，∴點(diǎn)Ｃ(，)在直線y＝x－1上.。
∵點(diǎn)A的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相同，∴ AB∥x軸。
∴Ｃ(，) 到線段AB的距離是3－＝。
∵＜1，∴Ｃ(，)是線段AB的“鄰近點(diǎn)”。
（2）∵點(diǎn)Q(m，n)是線段AB的“鄰近點(diǎn)”，∴點(diǎn)Q(m，n)在直線y＝x－1上。
∴ n＝m－1。
① 當(dāng)m≥4時(shí)， n＝m－1≥3。
又AB∥x軸，∴此時(shí)點(diǎn)Q(m，n)到線段AB的距離是n－3。
∴0≤n－3＜1。∴4≤m＜5。
② 當(dāng)m＜4時(shí)， n＝m－1＜3。
又AB∥x軸，∴ 此時(shí)點(diǎn)Q(m，n)到線段AB的距離是3－n。
∴0≤3－n＜1。∴3＜m＜4。
綜上所述， 3＜m＜5。
（1）驗(yàn)證點(diǎn)Ｃ(，)滿足“鄰近點(diǎn)”的條件即可。
（2）分m≥4和m＜4討論即可