Question

【題目】已知，點是等邊內的任一點，連接，，．

如圖，已知，，將繞點按順時針方向旋轉，使與重合，得．

（）的度數是__________．

（）用等式表示線段，，之間的數量關系，并證明．（圖為備用圖）

Answer 1

【答案】（）；（），證明見解析.

【解析】試題分析：

（1）由已知條件易得∠AOC=360°-150°-120°=90°，由旋轉的性質易得：∠ADC=∠BOC=120°，∠DCO=60°，結合四邊形的內角和為360°即可得到∠DAO=360°-90°-60°-120°=90°；

（2）如圖3，將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得到△ADC，連接OD，由旋轉的性質可知AD=BO，CD=CO，∠OCD=60°，由此可得△OCD是等邊三角形，從而可得OC=OD，結合（1）中結論∠DAO=90°由勾股定理即可得到：OB2+OA2=OC2.

試題解析：

（1）∵△ADC是由△BOC繞點C順時針旋轉60°得到的，

∴∠ADC=∠BOC=120°，∠DCO=60°，

又∵∠AOC=360°-∠AOB-∠BOC=360°-150°-120°=90°，

∴在四邊形AOCD中，∠DAO=360°-120°-60°-90°=90°；

（）．理由如下：

如圖3，將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得到△ADC，連接OD，由旋轉的性質可知AD=BO，CD=CO，∠OCD=60°，

∴△OCD是等邊三角形，

∴OC=OD，

由（1）可知∠DAO=90°，

∴在Rt△DAO中，，

∴OA2+OB2=OC2.