Question

【題目】把兩個全等的矩形ABCD和EFGH如圖1擺放（點D和點G重合，點C和點H重合），點A、D（G）在同一條直線上，AB＝6cm，BC＝8cm．如圖2，△ABC從圖1位置出發，沿BC方向勻速運動，速度為1cm/s，AC與GH交于點P；同時，點Q從點E出發，沿EF方向勻速運動，速度為1cm/s．點Q停止運動時，△ABC也停止運動．設運動時間為t（s）（0＜t＜6）．

（1）當t為何值時，CQ∥FH；

（2）過點Q作QM⊥FH于點N，交GF于點M，設五邊形GBCQM的面積為y（cm2），求y與t之間的函數關系式；

（3）在（2）的條件下，是否存在某一時刻，使點M在線段PC的中垂線上？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t＝時，CQ∥FH；（2）（3）存在某一時刻，使點M在線段PC的中垂線上，t的值為s．

【解析】

（1）由矩形的性質得出BC＝EH＝GF＝8cm，AB＝EF＝6cm，∠1B＝∠E＝∠EFG＝90°，由勾股定理得出AC＝FH＝10（cm），由平行線得出△CEQ∽△HEF，根據相似三角形對應邊成比例即可得出答案；

（2）證明△FMQ∽△EFH，得出，求出MF＝（6﹣t），當0＜t＜6時，五邊形GBCQM的面積為y＝梯形GBEF的面積﹣△CEQ的面積﹣△MFQ的面積，代入面積公式進行計算即可；

（3）由平行線得出△PCH∽△ACB，求出PH＝t，得出PG＝6﹣t，連接PM、CM，作MK⊥BC于K點，則四邊形GHKM為矩形，得出MK＝GH＝6，EK＝MF＝（6﹣t），則CK＝8﹣t﹣（6﹣t），由垂直平分線的性質得出PM＝CM，由勾股定理得出方程，解方程即可．

（1）∵四邊形ABCD和四邊形EFGH是兩個全等的矩形，

∴BC＝EH＝GF＝8cm，AB＝EF＝6cm，∠1B＝∠E＝∠EFG＝90°，

∴AC＝FH＝＝10（cm），

當CQ∥FH時，△CEQ∽△HEF，

∴，即，

解得：t＝，

即t＝時，CQ∥FH；

（2）∵QM⊥FH，

∴∠FNQ＝90°＝∠EFG，

∴∠QMF+∠MFN＝∠MFN+∠EFH＝90°，

∴∠QMF＝∠EFH，

∴△FMQ∽△EFH，

∴，即，

解得：MF＝（6﹣t），

當0＜t＜6時，五邊形GBCQM的面積為y＝梯形GBEF的面積﹣△CEQ的面積﹣△MFQ的面積

＝（8+8+8﹣t）×6﹣×（8﹣t）×t﹣（6﹣t）×（6﹣t）＝，

即y與t之間的函數關系式為：；

（3）存在，理由如下：

∵AB∥GH，

∴△PCH∽△ACB，

∴，即，

∴PH＝t，

∴PG＝6﹣t，

連接PM、CM，作MK⊥BC于K點，如圖2所示：

則四邊形GHKM為矩形，

∴MK＝GH＝6，EK＝MF＝（6﹣t），

∴CK＝8﹣t﹣（6﹣t），

若M在PC的垂直平分線上，則PM＝CM，

由勾股定理得：PM2＝PG2+MG2，CM2＝CK2+MK2，

∴PG2+MG2＝CK2+MK2，

即（6﹣t）2+[8﹣（6﹣t）]2＝62+[8﹣t﹣（6﹣t）]2，

整理得： t2﹣2t＝0，

解得：t＝，或t＝0（不合題意舍去），

∴t＝；

即存在某一時刻，使點M在線段PC的中垂線上，t的值為s．