Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，且．

求拋物線的解析式及頂點的坐標；

判斷的形狀，證明你的結論；

點是軸上的一個動點，當的周長最小時，求點的坐標．

Answer 1

【答案】 ，頂點的坐標為；是直角三角形．理由見解析；

．

【解析】

(1)、將點A的坐標代入解析式得出b的值，從而得出函數解析式，將解析式進行配方得出頂點坐標；(2)、根據函數解析式得出點B和點C的坐標，從而得出AB、AC和BC的長度，從而得出三角形的形狀；(3)、作出點C關于x軸的對應點，連接交軸于點，利用待定系數法求出直線的解析式，從而得出點M的坐標．

∵點在拋物線上，∴，

解得，∴拋物線的解析式為．

∵，∴頂點的坐標為；

是直角三角形．理由如下：當時，，∴，則．

當時，，∴，，則，∴，，

∴． ∵，，，

∴，∴是直角三角形；

作出點關于軸的對稱點，則．

連接交軸于點，

根據軸對稱性及兩點之間線段最短可知，一定，當的值最小時，的周長最小．

設直線的解析式為，則，解得，

∴．

當時，，則， ∴．